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四元数和四元数矩阵在量子力学、计算机图形等众多领域有着非常重要的应用，而四元数矩阵方程是建立上述应用问题的模型基础，因此研究四元数矩阵方程有十分重要的意义.本文定义了反射实部半正定四元数矩阵并给出其判定法则，建立了四元数矩阵方程A1X1A1*+A2X2A2*=B有实部半正定解的充要条件及其解的表达式.在此基础上给出了四元数矩阵方程AXA*=B有反射实部半正定解的充要条件及其解的表达式.最后，我们研究了四元数矩阵方程似AXA*=B的同余类解，给出了其有同余类解的充要条件及其解的表达式.作为应用，给出了矩阵方程AXA*=B有自(反)共轭解、实部半正定解的充要条件及其解的表达式.这些结果进一步丰富和发展了四元数矩阵代数.
全文共分为四章，第一章作为本文的基础，主要介绍了四元数、四元数矩阵和四元数矩阵方程的一些研究背景、研究进展以及本文所做的主要工作.给出了本文要用到的一些预备知识.
第二章介绍了自(反)共轭四元数矩阵、实部半正定四元数矩阵、反射四元数矩阵的定义与性质.在此基础上给出了反射实部半正定矩阵的定义，最后建立了反射实部半正定矩阵判定法则.
第三章给出了四元数矩阵方程A1X1A1*+A2X2A2*=B有实部半正定解的充要条件及其解的表达式，在此基础上建立了四元数矩阵方程AXA*=B有反射实部半正定解的充要条件及解的表达式.
最后一章通过矩阵的等价标准形分解定理给出了四元数矩阵方程AXA*=B有同余类解的充要条件及解的表达式.作为应用，给出了四元数矩阵方程AXA*=B有自共轭解、实部半正定解的充要条件及解的表达式.