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数据包络分析(Data Envelopment Analysis)简称DEA，是数学、运筹学、数理经济学及管理科学的一个新的交叉领域。DEA是使用数学规划模型对具有多个输入，特别是多个输出的“部门”或“单位”间相对有效性进行评价的一种方法。对DEA模型和方法的经济背景和管理背景的研究，确立了DEA在经济学和管理学中的地位。 近年来，使用DEA模型研究“拥挤”和“弱拥挤”迹象倍受人们关注。所谓“拥挤”是指：当某些投入减少时((x)≤x0)，所有产出均增大（(y)＞y0）。“弱拥挤”指的是:当某些投入减少时，部分产出增大（(y)≥y0）。“拥挤”和“弱拥挤”均表示投入和产出变化趋势相反的经济现象。1983年，F(a)re和Grosskopf首次对“拥挤”进行了定量分析。1996年，Cooper等人使用CTT方法研究“拥挤”，并分析了中国工业中的“拥挤”迹象问题。之后，又有很多关于“拥挤”问题的论文相继发表。但是这些文章均没有得到“拥挤”和“弱拥挤”迹象出现的充要条件。2003年，中国人民大学魏权龄教授和香港理工大学闫洪教授从研究规模收益状况和“拥挤”的统一观点出发，给出了使用DEA模型判定DMU出现“拥挤”和“弱拥挤”迹象的充分必要条件（参考文献[14]，[16]）。 然而现实中，有时不仅要判断所研究的决策单元是否出现了“拥挤”或“弱拥挤”迹象，而且还需要找出导致这些现象的投入要素以及受到影响的产出要素，即：哪些投入的减少会使哪些产出增加。对于r阶齐次生产函数y=f(x)，x∈Em，即f(kx)=krf(x)，若r＜0，则称生产函数显现“拥挤”迹象。这种函数在经济学中又叫做“俱乐部”函数(club function)。之所以有此名称，是因为该函数可以用来描述俱乐部会员卡的发放问题。在初始阶段，随着会员卡发放数量的增多，俱乐部的收益也越来越大，会员卡将会“增值”;但当会员卡发放到一定数量后，随着其数量的进一步增加，俱乐部收益反而可能下降，会员卡将会“贬值”，此种现象即为“拥挤”。产生这种现象的原因很多，可能是由于俱乐部随着会员的增多出现了管理混乱，也可能是由于人均设施占有量减少造成了会员消费的不满意等等。所以需要对俱乐部的投入因素做出分析，找到产生“拥挤”迹象的原因。同样，对于经济学中C-D型函数y=m∏i=1xαii当投入增为k倍（k＜1）时，有m∏i=1(kxi)αi=k∑mi=1αim∏i=1xαii,若m∑i=1αi＜0，则C-D型生产函数显现“拥挤”迹象。在m∑i=1αi＜0中，有αi＞1，0＜αi＜1和αi＜O三种可能。对于αi＞1的xi而言，投入增加k倍会使产出的增加大于k倍;对于αi=1的xi而言，投入增加k倍，产出也增大为原来的k倍。因此，对于这样的αi，其对应的投入与产出的变化趋势相同。可见，生产出现“拥挤”迹象并不是由这些投入引起的。要关注的是那些αi＜O所对应的xi，对于这样的投入，它们的增加将会导致产出减少。 因此，这就要求必须对出现“拥挤”和“弱拥挤”迹象的决策单元进行因素分析，将投入要素和产出要素分别加以区分，从而有效地指导生产经营实践，为扩大再生产提供依据。 本文主要分三部分： 一、DEA模型对“拥挤”迹象的因素分析。 将各决策单元的m个投入数据和s个产出数据分组I={1，2，......，k}，(I)={k+1，......,m}称I中的投入为可变的，(I)中的投入为不可变的。J={1,2,......,l}，(J)={l+1,.....,s}称J中的投入为可变的，(J)中的投入为不可变的。 1)输出DEA模型((C2R))，((BC2)，((FG))，((ST))，((NEW))及其相互关系： 首先给出各输出DEA模型： (P)({)maxz n∑j=1xIjλj≦xI0 n∑j=1x(I)jλj=x(I)0 n∑j=1yJjλj≧zyJ0n∑j=1y(J)j=y(J)0δ1(n∑j=1λj+δ2(-1)δ3λn+1)=δ1λj≧0,z∈E1,j=1,......,n+1其中δ1，δ2，δ3为取值0或1的参数.当δ1=0时，为模型（P(C2R)）;δ1=1，δ2=0时为(P(BC2));δ1=1，δ2=1，δ3=0时为(P(FG));δ1=1，δ2=1，δ3=1时为（P(ST)）。(P(NEW))({)maxz=h(NEW) n∑j=1xIjλj=xI0 n∑j=1x(I)jλj=x(I)0n∑j=1yJjλj=y(J)0 n∑j=1λj=1,λj≧0z∈E1 j=1,......,n 随后给出各模型弱DEA有效的定义，并通过分析各模型的对偶问题，得出弱DEA有效（(C2R)），（(BC2)），（(FG)），（(ST)）之间有如下关系:弱DEA有效((C2R))(←→)({)弱DEA有效((FG))弱DEA有效((ST))弱DEA有效((BC2))(←→)({)或者为弱DEA有效((FG))或者为弱DEA有效((ST)) 2)“拥挤”迹象因素分析方法 先给出投入产出区分可变和不可变要素后“拥挤”的定义: 设DMUjo为弱DEA有效（(NEW)），若存在（(x)I，(x)(I)，(y)J,(y)(J)，）∈T(NEW)，有((x)i≤xI0，(x)(I)=x(I)0，(y)J＞yJ0，(y)(J)=Y(J)0)，则称DMUj0显示出“拥挤”迹象。其中(T(NEW)={(xI,x(I),yk,y(J))丨n∑j=1xIjλj=xI,n∑j=1 x(I)j=x(I),)n∑j=1yJj≧yJ n∑j=1y(J)jλj=y(J),n∑j=1λj=1,λj≧0,j=1,......,n(})) 分析各输出DEA模型的相互关系后得到下面的充要条件: 若DMUj0为弱DEA有效((NEW))，则DMUj0显示“拥挤”迹象的充分必要条件是DMUj0不为弱DEA有效((BC2))。 若DMUj0为弱DEA有效((NEW))，则DMUj0显示“拥挤”迹象的充分必要条件是D MU既不是弱DEA有效（(FG)）也不是弱DEA有效（(ST)）。 3)应用举例 通过两个投入一个产出的例子说明上述结论的应用。 二、输出加法DEA模型对“弱拥挤”迹象的因素分析 本部分用到的DEA模型为输出加法模型((C2R))，((BC2))，((FG))，((ST))和((NEW))。(P′)({)maxeTs+ n∑j=1xIλj≦xI0 n∑j=1x(I)jλj=x(I)0n∑j=1yJjλj-s+=yJ0 n∑j=1y(J)jλj=y(J)0δ1(n∑j=1+δ2(-1)δ3λn+1)=δ1λj≧0,j=1,......,n+1,s+≧0,δ+∈El其中δ1，δ1，δ3为取值0或1的参数。当δ1=0时，为模型（P(C2R)）;δ1=1，δ2=0时为(P(BC2));δ1=1，δ2=1，δ3=0时为（P(FG)）;δ1=1，δ2=1，δ3=1时为（P(ST)）。(P(NEW))({)maxeTs+=V(NEW) n∑j=1xIjλj≦xI0 n∑j=1x(I)j=x(I)0 n∑j=1yJjλj-s+=yJ0n∑j=1yJjλj=y(J)0 n∑j=1λj≧0,j=1,......n s+≧0,s+∈El其余部分的讨论与对“拥挤”迹象因素分析相类似。 三、DEA模型下“拥挤”和“弱拥挤”的几种特殊情况及其相互关系 根据实际情况的需要，若仅需要判断决策单元是否显现“拥挤”或“弱拥挤”，取(I)=(θ)，(J)=(θ)，此种情况即为魏权龄教授和闫洪教授在参考文献[14]，[16]中所研究的“拥挤”和“弱拥挤”问题，此时没有对出现“拥挤”和“弱拥挤”的决策单元进行因素分析;若对已显现“拥挤”或“弱拥挤”的决策单元，需要判定究竟哪种产出要素受到影响，则取(I)=(θ);若仅需要判断哪种投入要素导致的“拥挤”或“弱拥挤”，则取(J)=(θ);若需要同时判断产生实际作用的投入要素和受到实质影响的产出要素，则为上面一、二部分所讨论的“拥挤”和“弱拥挤”情形。不论(I)，(J)是否取空集，DMUj0显示“拥挤”迹象，则一定显示相应情形下的“弱拥挤”迹象。 总之，本文利用输出DEA模型和输出加法模型对“拥挤”和“弱拥挤”迹象进行因素分析，得到了相应的判别方法。通过该方法可以找出产生“拥挤”和“弱拥挤”迹象的投入要素以及受到影响的产出要素，从而为生产经营活动提供科学指导。