量子态流形上的黎曼度规与拓扑刻画

• 作 者: 杨璐
• 机 构: 北京信息科技大学
• 出 处: 北京信息科技大学
• 发表日期: 2015年期
• 关键词: 量子态 黎曼度规 拓扑刻画 微分几何

从量子绝热循环演化中的量子态的贝利(Berry)相、量子霍尔电导以及绝热泵浦(pumping)中的拓扑陈数(Chern number)发现以来，几何与拓扑性质的研究在量子物理中起到了越来越重要的作用。本文以量子态的绝热演化为基础，采用微分几何的途径来理解量子多体系统中的量子相变和拓扑量子相变。我们在U(1)定域规范结构下的希尔伯特(Hilbert)空间中定义了一个量子几何张量以刻画两个相邻量子态之间的距离。这个几何张量的实部给出了这个量子态流形上的黎曼度规张量，而虚部恰好对应为复线丛上的Berry曲率。　　量子系统基态的几何张量反映量子多体系统的集体行为，它是定义在基态流形上的，可以帮助我们更好的理解在多体系统中的量子相变。在量子系统的动量空间中，系统的基态形成了一个闭合的黎曼流形，我们将高斯-博内定理应用到量子系统的基态流形上，得到了基态的欧拉数，并以之特征了量子系统的拓扑相变。　　微分几何学给量子多体系统中的相变及拓扑量子计算的研究提供了一个非常有价值的工具。本文系统的介绍了如何应用几何上的一些概念来探求量子物理的一些拓扑性质。　　本论文的结构如下:　　第一章，简要的介绍了微分几何和规范场在数学及物理中的重要地位，及它们之间的联系;概括了量子几何相位、拓扑序，以及在研究中需要的关于纤维丛和量子几何张量的数学背景。　　第二章，讨论了量子绝热演化，Berry相及相因子的拓扑性质，平行输运的相关概念，讨论分析了量子相变的Berry相，还以磁场中自旋1/2粒子为例讨论了它的几何和拓扑性质。　　第三章，求出了量子几何张量，其实部和虚部分别代表的黎曼度规和Berry曲率，还讨论了量子几何张量的意义，以及在数学中，如何求出一个曲面的曲面张量。　　第四章，讨论了欧拉数的意义，以及算法。还探究了在2维两带晶格模型中的量子黎曼度规和欧拉数，显示了一个非常重要的从普通绝缘到陈绝缘体的拓扑相变的过程，最后还给出了用欧拉数以及第一陈数表示的相图。