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数论中最古老的一个分支是丢番图方程，其内容丰富，与代数数论，代数几何，组合数学等有密切的联系．近三十年来，数论还被广泛地应用于信息编码理论，计算机科学，信号的数字处理等学科中，特别是数论密码的提出给数论的研究增加了新内容．因此，丢番图方程及数论密码一直是众多科研工作者热衷的研究对象．1979年，Bender E．A和Herzberg N．P讨论了不定方程ax~2+by~2=cp~n，c=1，2，4，的整数解问题，从而启发人们考虑更一般的方程ax~2+bD~m=cp~n的整数解．同时，人们也在寻求将数论更好地应用于现代密码学的理论．本文利用分解因子法和本原素除子的理论，讨论了丢番图方程x~p-1=Dy~n和ax~2+bD~m=p~n解的情况，并且利用数论中的Euler (?)函数和连分数，提出了新的数论密码系统．全文共分三部分，主要内容如下：第一章：阐述了丢番图方程及数论密码的发展概况以及求解丢番图方程的原则及困难性，为后面的讨论做好准备．第二章：讨论了丢番图方程x~p-1=Dy~n和ax~2+bD~m=p~n解的情况，其中包含三个定理和一个推论，并给出了严格的证明．第三章：利用Euler (?)函数和连分数，可以提出Euler (?)二元密码系统和连分数二元密码系统．