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本文共包括四章内容。第一章为绪论，介绍了本文的研究背景，研究内容及创新之处；第二章介绍了带跳的倒向随机微分方程(简称BSDE)及相关的非线性期望——f-期望，并推广了f-期望的定义空间；第三章得到了带跳的BSDE的反比较定理，以及在f-期望下Jensen不等式成立的一个充分必要条件；第四章考虑了一个带跳的金融市场中的指数效用最大化问题。特别地，我们证明了一类带跳且平方增长的反射倒向随机微分方程(简称RBSDE)解的存在唯一性。
第一章主要介绍了本文的研究背景，研究内容及创新之处。线性的倒向随机微分方程首先是由Bismut[7]在1973年引入的。Pardoux和Peng[68]研究了在Lipschitz条件下一般非线性BSDE解的存在唯一性。Duffle和Epstein[29]在研究随机微分效用的过程中也独立的引入了一类倒向随机微分方程。E1Karoui[32]首次研究了带反射壁的倒向随机微分方程，即RBSDE。随后，这些方程被越来越广泛的应用于随机控制，金融等领域的研究之中(见E1Karoui et al.[34]、[33]和Peng[71]等)。通过一般非线性倒向随机微分方程的解，Peng[72]在1997年引入了一类非线性期望——g-期望。随后，g-期望被广泛的应用于解决金融中的定价机制、动态风险度量生成机制等问题(见Gianin[38]、Peng[73]、[75]、[76])。
但是在一个带跳的随机系统中，我们不能仅仅只用布朗运动来描述系统的变化，而必须同时考虑跳跃的部分。Tang和Li[83]首先研究了带跳的随机系统，随后Pardoux[67]把他们的结果推广到BSDE情形。Royer[78]则进一步通过带跳的倒向随机微分方程的解定义了一类非线性期望——f-期望。因此在研究带跳的金融市场中的定价机制、风险度量生成机制等问题时，可以用带跳的(反射)倒向随机微分方程、f-期望来解决这类问题。因此无论是在理论还是在应用方面，研究带跳的BSDE、RBSDE的性质及.f-期望都有着重要的意义。
第二章首先介绍了带跳的BSDE的一般理论及f-期望的定义。我们给出了Royer[78]中关于带跳的BSDE的两个核心定理：解的存在唯一性定理及比较定理。它们是本文主要结论证明中的重要依据。其次，我们将f-期望的定义空间
第三章中我们给出了带跳的倒向随机微分方程的反比较定理，并由该反比较定理，进一步得到了在f-期望意义下Jensen不等式成立的一个充分必要条件。反比较定理肯定的回答了：如果可以比较两个倒向随机微分方程解的大小，可否反过来比较它们的生成函数的大小?在[53]中，作者介绍了g-EU理论，而该理论的依据就是g-期望下的Jensen不等式成立。因此，在研究带跳的金融市场中的g-EU理论时，考虑f-期望意义下的Jensen不等式是否成立也是一个很有意义的问题。
第四章中我们考虑了带跳的金融市场中的指数效用最大化及美式未定权益定价问题。假定投资者的投资策略取值于一个团体，且投资者的效用由风险厌恶系数为α的指数效用模型来描述，那么该投资者应该采取怎样的投资策略，才能使得其终端时刻财富的指数效用的期望达到最大。对于这样一个效用最大化问题，我们通过采用Hu et al.[43]中介绍的动态优化方法，得到了一类特殊的带跳且平方增长的反射倒向随机微分方程。我们证明了该方程解的存在唯一性定理，并由此得到所考虑指数效用最大化问题的解及美式未定权益在指数效用最大化意义下的合理价格。尽管在理论上可以证明这类方程解的存在唯一性，但是却无法给出它的封闭解，因此实际应用当中一个更值得考虑的问题是：如何得到这类方程的数值解?这将是一个有待解决的问题。