基于符号计算的非线性偏微分方程的孤子解及其相关的性质

• 作 者: 刘泽广
• 出 处: 北京邮电大学
• 发表日期: 2019年01期
• 关键词: 线性叠加原理 孤子解 Hirota双线性方程 多波解 共振现象

非线性科学的快速发展直接推动了数学物理相关领域的发展,使其成为继量子力学和相对论之后的自然科学在20世纪的重大发展。在非线性领域,孤子是最早的被人们所观察到并在实验室中模拟出的自然现象之一。孤子理论研究作为非线性科学的一个重要分支,专家学者们对于孤子理论的研究成果不但促进了数学物理领域新学科的形成,而且将其应用到了许多高科技领域。孤子理论越来越引起大量非线性科学方面研究学者的关注,逐渐成为数学物理科学方面的研究热点。本文的主要研究内容是运用Hirota技术、B(?)cklund变换和线性叠加原理来研究若干个非线性偏微分方程的孤子解。本文以这些方法为基础,利用Maple的符号计算求解了一些非线性偏微分方程的孤子解并分析了孤子解的相关性质。本文首先以bSK方程为研究对象,采用Hirota双线性方法研究了它的孤子解、B(?)cklund变换和相互作用解。与已有的研究结果不同,我们以Hirota双线性形式为基础,首先利用Maple的符号计算功能求得了一波解、二波解和三波解。为了研究孤子的性质及相互作用,在用Matlab绘制多波解的运动过程时,我们通过选择合适的参数,使得孤子能够发生碰撞并相互分离。之后我们基于Hirota双线性形式构造了bSK方程的B(?)cklund变换。最后通过在lump解的基础上添加指数波的方式求得了八类lump-kink解。lump-kink解是以lump孤子和kink波组成的一种相互作用解。为了更直观的研究lump-kink解的动态性,我们从相互作用解中拆得lump孤子项来研究lump孤子的运动,并运用Maple强大的符号计算功能求得了 lump孤子运动轨迹的参数方程。在此基础上还证实了 lump-kink解中的lump项正是bSK方程的一类lump解。通过对lump项的深入研究,可以更好的去观察lump孤子和kink波的碰撞过程。除此之外,基于Hirota双线性型方程,我们采用了指数行波解的线性叠加原理构造了一个(3+1)维的广义的水波方程、一个新的KP-like方程以及(3+1)维的复合BKP方程的共振多波解。共振多波解能帮助我们研究非线性偏微分方程所描述的共振现象。通过选取适当参数,将共振多波解的图像绘制出来,我们发现三种模型的共振多波解具有类似的形状。本文基于Hirota双线性技术、B(?)cklund变换和线性叠加原理研究了几类非线性偏微分方程的孤子解。在研究过程中得到了一些新的解的形式,并观察到了多孤子的相互作用过程以及孤子碰撞过程中所具有的性质,取得了一定的研究成果。但是,研究也存在新技术运用不多,求解过程较为繁琐等问题。