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作为最优化方法的一个重要分支,约束非线性规划方法在经济、工业、国防、预测等国民经济和社会发展的各领域有了更广泛的应用。求解约束最优化问题,可以利用目标函数和约束函数构造新的目标函数--增广目标函数,借此把约束最优化问题转换为无约束最优化问题。
乘子方法是通过求解一系列形如min f(x)+μTh(x)+C‖h(x)‖2.就理论上而言,该方法的主要缺陷为,需要求解一系列无约束最小化问题。为克服这一缺陷,Fletcher在增广Lagrangian函数中提出了一个依赖于x的乘子向量,只需要求解一个最小化问题,而不需要像上述乘子方法那样求解一系列最小化问题。Mukai和Polak由此提出了一个相关的算法。但是,该方法需要求矩阵的逆。这多少可能会限制该方法的广泛应用。
为了克服上述缺陷,本文提出一种乘子算法,不要求罚参数趋于无穷,亦不需要矩阵求逆。
本文提出一种乘子方法用于解带不等式约束的非线性规划问题。具体思路如下:先将原不等式约束问题用Fischer-Burmeister非线性规划互补(NCP)函数转化为一个等价的等式约束问题的基础上,经过适当修改后的DI PILLO的方法以及参考Xuewu Du,Liansheng Zhang,Yuelin Gao的方法,将等式约束问题转化为无约束极小化问题。在适当的假定条件下,通过求解一个无约束连续可微函数的最小值来得到原约束问题的解,从而可以使用标准的无约束极小化方法来求其解。最后,本文讨论原不等式约束问题和转换后的无约束问题相关的最优性条件之间的等价关系,以及局部最优性和全局最优性结果。即,在适当的假设下,只要罚参数充分大,并不要求罚参数趋于无穷,则原约束问题的最优解(或KKT点)对应于增广Lagrangian函数的最优解(或平稳点)。
本文分五章来介绍这种乘子算法:
第一章主要介绍非线性规划问题的一些基本定义和常用符号,以及罚函数、乘子法、增广Lagrangian函数的研究概况。第二章主要介绍NCP函数及其性质。第三章是论文的主要部分,在参考DI PILLO和Xuewu Du,Liansheng Zhang,Yuelin Gao方法的基础上,将原不等式约束问题转化为无约束问题,并在适当假设下证明了该函数与原问题的等价性。第四章给出了参数C的选择方法。第五章给出了算法,并在适当的假设下证明了收敛性。