【摘 要】
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多尺度建模是一个典型的跨学科问题,涉及到数学,化学,物理,工程,计算机科学,环境科学等学科.比如多孔介质中的流体流动,先进技术中的复合材料,以及地球物理中的建模同化.传统的多尺度方法包括多重网格法,自适应方法等,但其在解决很多实际问题时难以求解.因此,我们需要寻找更有效的分析方法,其中就包括均匀化（Homogenization）方法.均匀化理论是上世纪七十年代,在研究非均匀材料时引入的一种数学分析
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多尺度建模是一个典型的跨学科问题,涉及到数学,化学,物理,工程,计算机科学,环境科学等学科.比如多孔介质中的流体流动,先进技术中的复合材料,以及地球物理中的建模同化.传统的多尺度方法包括多重网格法,自适应方法等,但其在解决很多实际问题时难以求解.因此,我们需要寻找更有效的分析方法,其中就包括均匀化（Homogenization）方法.均匀化理论是上世纪七十年代,在研究非均匀材料时引入的一种数学分析方法.这种方法用于分析具有两个或多个尺度下的系统,把微观尺度的信息映射到宏观尺度上,从而推导出宏观尺度上的均匀化方程,进而可在宏观尺度上分析求解原问题.本博士论文运用均匀化方法研究多尺度系统,从而得到多尺度系统的有效约化方程,这里的多尺度系统也就是本文中的异质系统.首先,我们通过鞅方法研究了一类非局部算子对应的随机偏微分方程的均匀化.非局部算子作为L（?）vy过程的生成元,包括跳核可积以及跳核不可积两种情况.并且,我们将结果运用到由非高斯噪声驱动下的信号-观测系统所对应的Zakai方程.其次,我们研究了一个带有振荡系数的非局部模型的均匀化问题.最后,我们采用了双尺度收敛方法,对带有非局部拉普拉斯算子的随机薛定谔方程进行了研究,并得到了对应的均匀化方程.本文的具体安排如下第一章,我们首先介绍了研究背景及意义,研究现状,研究内容及主要结果.第二章,我们回顾了测度论,随机分析,微分方程,多尺度方法等方面的一些基础知识和相关定理,以及文中需要用到的一些不等式.第三章,我们研究了一类由随机偏微分方程刻画的非局部异质系统.其中的非局部算子是一个带有可积跳核的列维（L（?）vy）过程的生成元,因此我们需要用新的方法来克服难点.具体的,我们通过泰勒展开,建立了关于余项的收敛阶估计.从而利用鞅方法,我们证明了非局部异质方程的鞅解在（?）→0时收敛到一个局部方程的的鞅解.进一步,我们将这个收敛性结果运用到了由非高斯过程驱动的信号-观测系统的Zakai方程的均匀化上面,得到了有效的近似.第四章,我们研究的了一类带有非局部算子的异质系统.其中的非局部算子是一个带有不可积跳核的L（?）vy过程的生成元.此时泰勒展开已经不适用了.我们主要是通过对非局部梯度算子以及非局部散度算子的研究来得到在新的分数阶Sobolev空间中解的相关性质.利用鞅方法,我们证明了非局部异质方程鞅解的收敛性.与第三章不同的是,本章中得到的均匀化方程仍然为一个非局部方程.最后,我们将收敛性结果运用到由α-稳定L（?）vy驱动的信号-观测系统的Zakai方程的均匀化问题上.第五章,我们研究了一个带有振荡系数的非局部模型的均匀化问题,该非局部模型描述了具有非高斯L（?）vy噪声的随机动力系统的平均停留时间和逃逸现象.进一步地,我们得到了均匀化模型的收敛速度.这更有利于对非高斯扰动下的逃逸现象进行有效的分析和模拟.第六章,我们研究了带有非局部拉普拉斯算子的薛定谔方程的均匀化问题.通过对非局部梯度算子以及非局部散度算子的相关性质进行研究,并结合双尺度收敛方法,我们得到了薛定谔方程的均匀化结果.薛定谔方程以及Zakai方程作为物理中的两个广泛应用的方程,我们研究了其随机均匀化问题.这使得我们可以对在异质条件下所得到的薛定谔方程以及Zakai方程的相关动力学行为进行研究,而现实生活中广泛存在的非均匀介质使得我们的研究更加具有实际意义.同时我们还将方程中的非局部算子的形式作出了推广,使其可以囊括更多的实际问题.第七章,我们对本文工作进行了总结,并且指明了后续的研究问题及方向.
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