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对考虑参数随机性的结构进行力学分析时，随机有限元方法是一种重要且有效的数值方法。本文在同伦分析方法的基础上，提出了一种新的随机有限元方法——同伦随机有限元方法。同伦随机有限元方法将传统的各类随机结构力学平衡方程重新进行同伦构造，以同伦级数的形式来表示随机结构的响应，进而获得结构随机响应的统计矩和概率密度函数。与现有随机有限元方法相比，本文提出的方法在保证较高计算精度的同时，具有良好的计算效率。
本文主要研究工作如下：
1、提出了同伦随机有限元方法。得到了结构随机响应的同伦级数显式表达式。同时，为进一步提高同伦随机有限元方法的计算效率，提出了同伦级数的降维策略。本文方法的应用不受随机变量分布形式的限制，并且可适用于随机参数变异性较大的情形。与目前广泛应用的摄动法、谱随机有限元方法和降维法等方法相比，同伦随机有限元方法在计算精度相当时，具有很高的计算效率；同时，本文方法可以有效避免高阶摄动法出现发散的情况。
2、提出了样本点法和概率残差最小化法来确定同伦级数中辅助参数h的取值。样本点法类似于响应面法，通过让少量样本点处的计算误差最小来得到合适的h值；概率残差最小化法要求同伦级数近似解在代入原控制方程后，可找到一确定的h值，使得同伦级数解与控制方程的真实解在样本空间内的统计误差最小。
3、基于同伦随机有限元方法的随机参数结构的静力响应分析。利用同伦随机有限元方法，得到了随机参数结构在静力荷载作用下结构随机位移响应的同伦级数解；另外，将同伦随机有限元方法成功应用于桁架拱结构的随机几何非线性分析中。
4、基于同伦随机有限元方法的随机参数结构自由振动分析。分别得到了孤立特征值系统、重特征值系统和密特征值系统特征对的同伦级数解及其统计值。在处理随机重、密特征值问题时，本文强调了随机参数结构自振模态的统计意义，认为只有相似的自振模态才可进行统计。
5、基于同伦随机有限元方法的随机参数结构的弹性稳定性分析。考虑弹性模量或者抗弯刚度不确定性，得到了随机屈曲荷载和屈曲模态的同伦级数解及其统计值。讨论了重、密屈曲特征值情况下屈曲荷载的统计方式。
本文主要研究工作如下：
1、提出了同伦随机有限元方法。得到了结构随机响应的同伦级数显式表达式。同时，为进一步提高同伦随机有限元方法的计算效率，提出了同伦级数的降维策略。本文方法的应用不受随机变量分布形式的限制，并且可适用于随机参数变异性较大的情形。与目前广泛应用的摄动法、谱随机有限元方法和降维法等方法相比，同伦随机有限元方法在计算精度相当时，具有很高的计算效率；同时，本文方法可以有效避免高阶摄动法出现发散的情况。
2、提出了样本点法和概率残差最小化法来确定同伦级数中辅助参数h的取值。样本点法类似于响应面法，通过让少量样本点处的计算误差最小来得到合适的h值；概率残差最小化法要求同伦级数近似解在代入原控制方程后，可找到一确定的h值，使得同伦级数解与控制方程的真实解在样本空间内的统计误差最小。
3、基于同伦随机有限元方法的随机参数结构的静力响应分析。利用同伦随机有限元方法，得到了随机参数结构在静力荷载作用下结构随机位移响应的同伦级数解；另外，将同伦随机有限元方法成功应用于桁架拱结构的随机几何非线性分析中。
4、基于同伦随机有限元方法的随机参数结构自由振动分析。分别得到了孤立特征值系统、重特征值系统和密特征值系统特征对的同伦级数解及其统计值。在处理随机重、密特征值问题时，本文强调了随机参数结构自振模态的统计意义，认为只有相似的自振模态才可进行统计。
5、基于同伦随机有限元方法的随机参数结构的弹性稳定性分析。考虑弹性模量或者抗弯刚度不确定性，得到了随机屈曲荷载和屈曲模态的同伦级数解及其统计值。讨论了重、密屈曲特征值情况下屈曲荷载的统计方式。