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在本文中,我们主要研究奇异微分方程三点边值问题(1)和(2)正解的存在性其中0<α<1,0<η<1,f在x=0和x＇=0奇异且变号,其中0<α<1,η∈(0,+∞),f在x=0和x＇=0奇异且变号.
微分方程三点边值问题是指常微分方程的定解条件不仅依赖于解在区间端点的取值,而且依赖于解在区间内部一点的取值.它起源于各种不同的应用数学和物理领域,这方面的背景实例包括横截面相同而密度分段不同的支索的振动以及弹性稳定性理论中的许多问题<[1]>.正因为多点边值问题具有广泛的应用背景,所以具有关于多点边值问题的研究最早的文献见Barr.D.,Shermen T.于1973年发表的论文<[2]>.自1991年之后,针对二阶三点边值问题Gupta.C.P.等人相继发表了大量的研究成果<[3-6]>.马如云<[7]>在1999年中提出了这类问题的关键条件,并且在他的著作<[9]>中对非线性常微分方程非局部问题作了全面的论述.除此之外,许多学者对三点边值问题做了大量研究<[25-33]>,也取得了一定的成果.但非线性项既依赖于x＇又奇异变号的文章很少,本文所研究问题的特点是,首先非线性项f在x=0,x＇=0奇异,再者非线性项f是不定号的.所以本文是对三点边值问题正解存在性理论的发展,具有重要的理论意义和应用价值.
在研究上述问题正解存在性时,主要参考了文[10-12],[14-22].研究方法是首先构造适当的积分算子,把由于f变号使积分算子变号的那一部分去掉,然后提出新的条件克服奇异和变号,利用Arzela-Ascoli定理或Helly引理得出所研究方程的近似解,其极限就是原方程的解.全文共分二章.在第一章中,首先研究了问题(1)当f>0且在x=0,x=0奇异时,最小正解的存在性.用三个非负函数控制非线性项af,这三个函数分别满足可积性和有界性.然后,用两种方法研究了问题(1)f变号且在x=0,x=0奇异时,正解的存在性及正解的紧性.这两个方法共同之处是:除了f的绝对值小于几个控制函数外,为了使正解存在,当x在靠近零时,f大于一个正函数,所以对f的限制条件进一步增强.不同之处是:第一种方法的三个非负控制函数,其分别满足可积性和有界性,而第二种方法的三个正控制函数满足单调性条件.第二种方法比第一种方法所解决的问题更广泛.
在第二章中,我们主要研究半直线上奇异微分方程三点边值问题(2)正解的存在性.首先当f>0时,直接在无穷区间上讨论,由于解是无界的,通过变形我们利用了一个有界变量来控制得出(2)正解的存在性.然后f变号时,由于无穷区间是非紧的,所以主要是在有限区间讨论,然后逼近无穷区间得出(2)正解的存在性.