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为了克服经典小波分析的不足,人们在多种非经典思想和方法的启发下试图去寻找经典小波的变体。在仅仅十几年的时间里,不少非经典小波被相继提出来。Shearlet分析正是一种在这个非经典小波研究浪潮推动下产生的新型小波分析理论,不仅克服了经典小波在处理高维奇异性的不足,而且与其它非经典小波相比具有多分辨分析的结构。这种结构在程序设计上是极为有用的,即可以用Mallat算法来快速计算多分辨分析结构中各层系数——尽管人们已经编制出了shearlet图像重构程序,但目前还没有计算shearlet系数的程序出现。本文还致力于将shearlet做进一步的推广,以构造新的小波。
本文的主要工作由三大部分组成:
(1)群表示论与连续shearlet变换。无论是经典小波还是非经典小波的发展都离不开一些基础理论的支持。本文主要以拓扑群表示论和框架理论为工具研究了shearlet分析及其在图像处理中的应用。第二章从反演公式出发,总结出一套具有普遍意义的shearlet分析方法,即计算shearlet群的Haar测度,模函数和Duflo-Moore算子,以便剖析shearlet变换的根本结构。该章第一节成功构造出两个n维shearlet群,表明了本文的研究方法具有重要价值。第二节则将相关的概念和原理推广到微分流形上(定理2.11),从而使shearlet变换可以处理流形上的函数,大大扩展了应用的范围。进一步从Lie群的角度认识shearlet群及其voice变换,并统一地给出了的各种具体的voice变换。
(2)Shearlet稀疏化。有了对连续shearlet变换的认识之后,第三章开始研究稀疏化表示。所谓稀疏化就是在shearlet群中选取一个离散集作用在某个基本函数上构造出空间的基或框架(仿射系统)。经典小波可以容易地构造正交基。而shearlet变换却不易构造正交基，框架的引入弥补了shearlet的这个不足之处。因为框架具有冗余性,所以不仅放宽了对生成函数的要求,而且在稀疏表示方面也往往比正交基更具灵活性.紧框架是所有框架当中最接近正交基的。定理3.1为紧框架的构造奠定了基础,而随后的定理3.2与定理3.3分别是shearlet紧框架与其“多小波”形式,其中定理3.3适用于一切形如F-1L2(D)的子空间,并为后来的多分辨分析结构做好了理论铺垫。定理3.4则是其拓扑群版本,概括了迄今为止所有同类型的定理。也为后继的研究提供了有力工具。接着,紧框架生成函数的构造引出了频域划分的讨论。尽管一些论文已经提到了这种方法,但本文更为细致地研究了shearlet变换的频域结构并提出了划分技术.这个技术和伪极坐标变换联系在一起。为了推广这个技术,我们也给出了一般形式的伪极坐标变换,而该变换主要依据剪切矩阵的形式。
(3)系数计算算法.第四章数值计算的主要任务是计算shearlet系数，与理论分析不同,其面临的问题是设计快速高精度的计算程序。理论上,shearlet系数就是函数与shearlet函数的内积。然而,单纯做内积不仅造成不小的累积误差。而且没有考虑各系数序列之间的联系,加大了计算量。定理3.5在理论上指出了shearlet变换的多分辨分析结构,使设计高效的程序成为可能。文中给出了一个shearlet系数计算算法。最后的数值实验充分验证了算法的正确性和可靠性,也在实践上证明了shearlet变换在处理图像上的优越性。