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科学与工程中的许多问题可归结为无界区域中数学物理方程的定解问题。对这类问题的求解，最简单的方法是先取定某个人工边界，给出适当的人工边界条件，然后在相应的有界区域中用通常的方法，例如有限差分方法、有限元方法或者谱方法等数值方法求解。然而，这种截断必然会带来相应的误差。因此需要研究直接计算无界区域上的数学物理问题的高精度算法。
正是在这样的背景下，本文提出了一种求解无界区域问题的数值方法，即广义Laguerre函数的拟谱方法。我们的研究由以下几部分组成。
首先，我们介绍了广义Laguerre多项式逼近的一些基本结果。在第三章，我们建立了广义Laguerre函数插值逼近的一些基本结果。第四章是这种新方法的一些应用。我们首先考虑了全平面上的定常对称问题，建立了相应的拟谱格式，并证明了格式的收敛性。然后我们研究了单位圆外部的对称问题，建立了相应的拟谱格式，并证明了格式的收敛性。在第五章，我们给出相应的数值结果，这些结果表明了这种新方法是非常有效的。