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过去的几年，科学家在对超冷量子气体的研究方面取得了一系列重大实验突破，其中包括玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)的实现、超冷简并费米气的获得以及最近分子BEC的成功观测等。与此同时，对BEC及简并费米气作相关理论研究，也成为近年来的一个热门课题。 本论文对低温下量子气体的热力学性质作若干理论研究，着重探讨有限粒子数、粒子间弱相互作用、相对论效应及“q-形变”等因素对系统热力学特性的影响。文中所得结论对进一步深入认识量子气体的低温特性，揭示各种宏观量子效应的实质具有一定的理论价值。 第二章研究有限粒子数对量子气体热力学性质的影响。其中第2.1节采用数值计算的方法探讨局限于D维刚性盒中有限粒子数玻色气体的BEC特性。我们发现，对有限粒子数玻色系统，基态粒子占有率和热容随温度的变化曲线连续而且光滑，BEC呈现平缓的渐变过程;系统的边界效应（含边界尺度、边界形状及边界条件的影响）在系统尺度微小，系统粒子数有限时不再可以忽略不计;同时，与满足热力学极限条件的宏观系统不同，有限粒子数BEC可在二维和一维刚性盒中产生。第2.2节研究约束在D维简谐势中有限粒子数费米气体的热力学性质，给出考虑有限粒子数修正时系统重要热力学量的解析表达式。结果发现，与玻色系统相比，有限粒子数对费米系统的影响要小得多。 第三章研究粒子间弱相互作用对量子气体低温特性的影响。其中第3.1节运用局域密度近似(LDA)研究约束在一般幂次型外势中粒子间存在排斥相互作用的玻色气体的热力学性质，探讨粒子间相互作用对系统临界温度、基态粒子占有率、化学势、总能、熵和热容等热力学量的影响。所得结果与实验数据和其他学者采用数值求解GP(Gross-Pitaevskii)方程得到的结果很好相符。研究表明，粒子间的排斥互作用使得BEC临界温度降低，化学势、总能和熵增大，热容在临界点的不连续性减小。第3.2节对弱相互作用费米气体的热力学性质作类似探讨。结果显示，与玻色系统相比，粒子间相互作用对费米系统低温性质的影响相对较小。 第四章分析满足相对论色散关系的约束玻色气体的热力学性质，讨论相对论效应及正-反粒子对产生对各热力学量的影响。从所得结果我们发现，当粒子的动能接近或超过其静止能量时，相对论效应对系统性质产生重要的影响。对于粒子数巨大，单粒子质量微小或被强外势约束的理想玻色气体，即使在临界温度附近相对论效应也不可忽略。同时我们看到，对于相对论性玻色气体，正-反粒子对的产生导致系统的诸多特性发生改变，如BEC临界温度升高，热容在临界点的不连续性减小以及热容在高温区随温度的升高而迅速增大等。 第五章运用始于20世纪80年代的q-形变玻色统计理论，研究满足q-形变玻色-爱因斯坦分布的理想玻色气体的热力学性质，着重讨论q-形变对系统BEC特性的影响。所得结果显示，当q≠1时，系统的许多性质，如BEC产生的条件、临界温度、基态粒子占有率与温度的关系以及热容在临界点的连续性等均与正常玻色系统的不同。而当q→1时，q-形变玻色系统的所有性质与正常玻色系统的趋于一致。由此可以认为，q-形变玻色统计是一种更为广义的统计理论。