【摘 要】
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发展高效的波动方程数值求解方法具有重要的现实意义,它影响到生产与生活的方方面面。用计算机求解偏微分方程同时涉及空间和时间两方面的数值离散。目前,针对空间部分的离散得到了广泛的研究。相比空间离散,对时间离散的研究还比较少。时间的离散也会引入数值频散,研究与空间离散相匹配的时间离散格式具有重要的价值。本文关注波动方程的时间离散方法,在传统辛算法中加入额外的空间离散算子,用来弥补数值计算过程中由于时间离
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发展高效的波动方程数值求解方法具有重要的现实意义,它影响到生产与生活的方方面面。用计算机求解偏微分方程同时涉及空间和时间两方面的数值离散。目前,针对空间部分的离散得到了广泛的研究。相比空间离散,对时间离散的研究还比较少。时间的离散也会引入数值频散,研究与空间离散相匹配的时间离散格式具有重要的价值。本文关注波动方程的时间离散方法,在传统辛算法中加入额外的空间离散算子,用来弥补数值计算过程中由于时间离散带来的数值频散,该系列算法被命名为“修正辛算法”。为了验证修正辛时间离散算法与各种常用的空间离散方法相结合的适应性能力,本文将修正辛时间离散与准粒子法空间离散相结合用于求解准粒子体系下的波动方程--修正辛准粒子法波动方程计算;将修正辛时间离散与三角形有限元法空间离散相结合用于求解表面不规则模型--修正辛有限元法波动方程计算。论文从理论分析和数值计算两个方面对修正辛算法进行了研究,主要涉及以下四部分内容:1.研究并总结了现有波动方程数值求解方法的优缺点以及适应场合,通过综合对比各种时间离散方法,发现用二阶辛算法对偏微分方程时间部分进行离散时,具有时间迭代步数少,计算精度高的优点。然而传统二阶辛算法在计算非均匀介质物理现象时,会出现大时间步长计算能力差的问题,其具有进一步改进的空间。本文拟在二阶辛算法基础之上对算法作进一步的发展,并在此算法基础之上推导出修正辛算法。2.研究了准粒子法空间离散体系。粒子法适合解决涉及单元结构、电磁及其耦合等问题的计算。基于Hamilton力学,从分子动力学角度建立了针对地震波传播的空间离散的准粒子体系,给出了粒子间的相互作用系数。3.针对有限元空间离散内存消耗巨大的缺点,研究了在三角形离散情形下的刚度矩阵存储策略,以便实现在计算过程中降低内存的需求。4.将本文构造的修正辛算法与不同的空间离散格式进行时空结合,通过数学方法从理论上研究了它们的数值频散性能以及数值稳定性情况。为了在有限的模型中模拟计算无限大的空间,研究了完美匹配层（PML）吸收边界条件。通过理论分析和具体数值算例进行测试,证实了本文提出的各类修正辛格式在求解波动方程上具有数值频散弱、稳定性强与常见空间离散时空结合性能好等优点。
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