【摘 要】
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小波分析是上世纪80年代在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科,是一种具有非常丰富的数学内容和对应用有巨大潜力的多方面适用的工具.由于其具有良好的“自适应性”和“
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小波分析是上世纪80年代在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科,是一种具有非常丰富的数学内容和对应用有巨大潜力的多方面适用的工具.由于其具有良好的“自适应性”和“数学显微镜”性质而被广泛应用到自然学科和工程技术的各个分支.本文在深入理解双向小波、框架、剪切波及复小波理论的基础上,分别对双向小波紧框架、高维不可分正交小波紧框架、剪切波紧框架的构造和紧支撑正交复小波的参数化问题进行了研究,得到了一些结果.全文共分七章,其主要内容如下: 第一章简要介绍了小波分析的发展史,分析了当前国内外的研究现状,指出了论文的课题来源,概述了论文的主要工作和内容安排. 第二章主要介绍了论文中用到的一些符号,小波分析的基本知识、相关概念和主要结论. 第三章研究了双向小波紧框架.基于矩阵的酉等价和酉扩充原理,提出了双向镜向正交滤波器和双向多相位矩阵的概念,给出了由双向加细函数生成双向小波紧框架的充分条件,基于双向尺度函数给出了构造双向小波紧框架的显式公式.最后探讨了双向小波紧框架与多小波紧框架之间的关系,可由双向小波框架来构造具有对称性的多小波框架. 第四章研究了高维不可分正交小波紧框架.根据小波紧框架和正交小波框架的特征,由一维小波紧框架,本章给出了一个构造出高维不可分正交小波紧框架的方法.如果一维小波紧框架是对称的,构造的高维不可分正交的小波紧框架也是对称的. 第五章研究了剪切波紧框架的构造.根据正交小波框架和剪切波紧框架的特征,本章给出一个构造对称正交剪切波紧框架的方法.由已知的剪切波紧框架,构造出了具有对称性的带限的正交剪切波紧框架方法.最后研究了带限的多剪切波紧框架的构造. 第六章研究了一类紧支撑正交复小波的参数化.根据正交复小波的特征,本章给出一类紧支撑正交复小波的参数化方法,通过对满足一定条件的参数选择可以得到具有不同性质的紧支撑正交复小波.该参数化方法适用于任意长度的紧支撑正交复小波. 第七章总结了本文的主要工作,并展望了下一步的研究工作.
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