一类映射的不动点稳定性及广义b-方程的非线性波解

• 作 者: 刘锐
• 机 构: 北京大学
• 出 处: 北京大学
• 发表日期: 2010年期

本论文由两部分组成，第一部分是关于一类保面积映射的不动点稳定性，　　
第二部分是关于广义b-方程的非线性波解。　　
保面积映射是一类具有特殊性质的映射，在数学和天体物理中有重要的应用。本文第一部分主要针对一类具有椭圆型不动点的拟周期保面积映射进行了研究，当这类映射的正规形式中所有的Birkhoff系数为零时，证明了存在变量替换，把原映射变为线性化正规型，并由此可以进一步得到映射不动点的稳定性。在证明中用到了著名的KAM迭代方法，因此克服了小除数带来的困难和建立了变量替换的快速收敛。这个结果可以用来讨论等时系统拟周期解的存在性，在文中对半线性振动方程（）给出了应用。　　
本文第二部分主要针对广义b-方程的显式非线性波解进行研究，该方程的具体形式为（），它是一个去掉扰动项的非线性波方程，目前有近20篇文献对它进行过研究，大部分文献都是在给定b=2或b=3及某几个固定的波速条件下，对其非线性波解进行讨论，仅有一篇文献讨论了该方程在扰动下的孤立波存在性。本文用动力系统分支方法对所有大于1的b进行研究，当（）时，记（），本文证明了对开区间（c5，c6）上的所有波速，该方程具有以下多种显式非线性波解：（ⅰ）光滑的单孤立波解，（ⅱ）单爆破解，（ⅲ）单孤立尖波解，（ⅳ）光滑周期波解，（ⅴ）周期爆破解。当波速取该区间的端点时，证明了单孤立尖波解及单爆破解共存。这些解的具体表达式被给出，它们的极限形式以及它们之间的关系被讨论。某些新的现象被揭示，例如当k<0时，孤立尖波会变成光滑孤立波；周期爆破解会变成单爆破解；多种非线性波会共存等。文献中的大部分结果都成了本文的一些特例。下一步打算在本文的基础上，把KAM理论应用到该方程的扰动形式上。