自然单元法在线弹性断裂力学中的应用研究

• 作 者: 盖珊珊
• 机 构: 山东大学
• 出 处: 山东大学
• 发表日期: 2009年期
• 关键词: 自然单元法 线弹性断裂力学 Laplace插值 应力强度因子 裂纹扩展

断裂问题一直是数值计算中的难点之一。常用的处理方法包括有限元法、边界元法和无网格法。对于断裂问题而言，其计算的难点主要包括模型的建立、边界条件的施加和不连续性的处理。有限元法在处理断裂问题时，为了得到更精确的数值解，需要在裂纹尖端进行精确的网格划分，并且随着裂纹扩展，需要进行网格的重新划分。这会导致计算精度和求解效率的降低。无网格法只依赖于节点信息的优点使它成为目前处理大变形和不连续性问题的一种比较有效的方法。
自然单元法是一种新型的数值计算方法，属于无网格法。该方法基于整个求解域内离散节点的Voronoi结构，采用自然邻点插值方法在全域构造近似函数应用于Galerkin过程。自然单元法的形函数构造简单，形函数及其导数的计算不涉及人为因素，计算量大大减少。另外，由于自然单元法形函数具有Delta函数的性质，在边界相邻节点间满足线性插值，从而可以准确地施加边界条件和方便处理场函数及其导数的不连续性，因此自然单元法同时具备有限元法和无网格法两者的优点。
采用Laplace插值构造近似场函数，代入弹性力学边值问题的变分弱形式，由变分的任意性推导出离散控制方程。首先通过了分片试验，验证了方法的正确性。然后分别计算了受单向拉伸作用下的正方形板，受集中力作用的悬臂梁，通过数值计算结果验证了方法的正确性、计算精度和效率。根据断裂力学的基础知识，以Delaunay三角形为积分背景，采用三角形高斯积分，在线弹性范围内，通过J积分计算了矩形板单边Ⅰ型边界裂纹的应力强度因子，并对单边Ⅰ型边界裂纹的应力强度因子和沿裂纹延长线扩展不同裂纹长度的应力强度因子进行了计算，给出了边界Ⅰ型裂纹裂尖周围应力场的数值解与解析解对比图。根据最大拉应力理论，应用围线积分法，计算了矩形板边界拉剪复合裂纹的应力强度因子，及裂纹扩展趋势，结果与实际裂纹扩展中Ⅰ型裂纹占优的情况相符，裂纹扩展趋势也与李卧东等计算结果相符。研究结果表明应用Laplace插值构造近似场函数应用于Galerkin过程的自然单元法计算裂纹扩展是可行的，并且有较好的计算精度和计算效率，为自然单元法在不连续体中的应用提供了研究的思路和方法。