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压缩感知(CS)是近年通信和信号处理领域的研究热点之一。冗余字典下的压缩感知相对于经典的标准正交基而言具有更为宽泛的现实意义，因此基于冗余字典的压缩感知研究一直是CS领域的核心问题之一。本文围绕冗余字典下的压缩感知，重点研究了几类信号恢复算法和其应用，主要讨论了一般形式下冗余字典CS问题的求解算法、冗余字典模型下的压缩感知在阵列信号波达方向(DOA)估计问题中的应用，以及全变分(TV)这类冗余字典在图像恢复中的算法和应用。 本文的创新性成果主要体现在以下方面: 1.在l1-分析方面，针对基于最优对偶的l1-分析这一学术界较新成果，提出基于Nesterov梯度加速的快速求解算法，所提算法在收敛速度上具有明显优势，且适用于大规模问题的求解。 2.在阵列信号DOA估计或多快拍(MMV)问题中，将差值映射(DM)算法框架应用于目前先进的压缩感知多重信号分类(CS-MUSIC)过程，极大提升了CS-MUSIC的求解成功率，增强了阵列系统的信号辨识能力，与当前常见算法相比具有明显的性能优势。 3.在基于全变分(TV)约束的图像恢复问题中，提出基于TV投影和差值映射的图像恢复算法框架，相比交替投影(AP)等主流方法在收敛速度和重建精度上均具有明显优势。