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凸函数是数学理论中极为重要的一个概念，它具有许多良好的性质，不仅在数学基础理论研究中发挥着重要作用，而且广泛应用于众多学科.凸函数理论自上世纪初建立以来，它一直是非常活跃的研究课题.近些年来，国内外有很多数学家研究各类凸函数，并研究凸函数和不等式的内在关系，得到了众多重要的不等式，同时利用凸函数的优美性质证明了一些复杂的不等式.可见，凸函数在不等式的研究中发挥着不可替代的作用.
凸函数的概念是由Jensen提出的([1，p.59]).设f∶I(∈)R→R，若对任意的x1，x2∈I，有f（x1+x2/2)≤f(x1)+f(x2)/2,则称f在I上是凸函数（也称其为中点凸函数）.
凸函数概念的一般形式为（见[1，p.60;2，p.1;3，p.413]）.
设f∶I(∈)R→R，若对任意的x，y∈I，λ∈[0，1]，有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y),则称f为I上的凸函数.
自Jensen提出凸函数的定义之后的一百多年里，数学家们对凸函数的研究十分活跃，并且他们对凸函数作了若干的推广，如:几何凸函数，对数凸函数，调和凸函数，GA-凸函数，r-凸函数[4-5]，m-凸函数[6]，(α，m)-凸函数[7]，P-凸函数[8]，h-凸函数[9]等广义凸函数.
在本文中，我们定义了两类新的h-凸函数:h-几何凸函数和h-对数凸函数，并讨论了它们的基本性质和积分不等式，同时讨论了(h，m)-凸函数的若干性质和积分不等式.
全文共分四章:
第一章，本文课题的发展概况、主要研究内容和研究现状.
第二章，我们引入了h-几何凸函数的概念，并研究了它的基本性质和积分不等式.
第三章，我们引进了h-对数凸函数的概念，并讨论了其基本性质和积分不等式.
第四章，我们讨论了(h，m)-凸函数的有关性质和积分不等式.