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Hochschild在模范畴中引入了相对同调代数.之后，Heller，Butler和Horrocks在一般的范畴中给出了相对abelian结构.本文主要研究Artin代数的表示以及三角范畴中的相对同调代数。
在Artin代数的表示理论中，Auslander和Solberg建立和发展了相对同调代数的基本理论.此后，从相对同调的观点，Generalov引入了abelian范畴的相对导出范畴。Buan也对Artin代数上的相对倾斜模诱导的三角等价进行了研究.本文主要研究了Artin代数上的相对倾斜复形诱导的相对导出等价，从而推广了相对倾斜模诱导的三角等价.并且本文研究了Artin代数之间的相对导出等价与代数的相对整体维数和相对有限维数的关系。
在正合范畴中，Quillen定义了同调代数.基于Quillen的想法，Beligannis，As-adollahi和Salarian在三角范畴中引入了相对于一个包含特殊正合三角的真子类的相对同调.他们在三角范畴中定义了投射对象以及Gorenstein投射对象.本文研究了三角范畴中一类特殊的Gorenstein对象。
导出范畴是特殊的三角范畴.在Artin代数的表示论中，我们比较感兴趣的是两个代数之间的导出等价.根据Rickard的导出等价的Morita理论，两个代数A和B是导出等价的当且仅当存在A上的一个倾斜复形使得其自同态代数与B同构.一般而言，寻找代数上的倾斜复形是比较困难的.一个比较自然的想法是，从已知的导出等价出发来构造倾斜复形，从而得到新的导出等价.本文研究了从一类Artin代数的导出等价出发来构造新的代数之间的导出等价。
为了方便叙述本文的结果，首先介绍一些符号.设人和Γ是两个Artin代数.F是End1Λ（-，-）的一个非零的有限型的子函子.给定代数Λ，用gl.dim（Λ）和fin.dim（Λ）分别表示Λ的整体维数和有限维数.用gl.dimF（Λ）和fin.dimF（Λ）分别表示人的F-整体维数和F-有限维数.设n≥O是一个整数。给定一个根复形X·：0→X-n→X-n+1→…_X-1→_+X0→0，其中X1≠0，-n≤i≤0.称，n是复形X·的term长度，记为l（X·）.设T是一个三角范畴，ξ是T中包含正合三角且满足特殊条件的一个真子类。假定T有足够多的ξ投射对象.M是T中一个对象，M的ξ-Gorenstein投射维数记作ξ-Gproj.dim（M），其定义在第五章第二部分给出。
本文首先考察Artin代数的相对同调维数与相对导出等价之间的关系，得到下面的结论。
定理1假定Λ和Γ是相对导出等价的.对应Λ上的F-倾斜复形是T·，记其非零的term长度为l（T·）.则
（1）gl.dimF（Λ）-l（T·）≤gl.dim（Γ）≤gl.dimF（Λ）+l（T·）+2。
（2）fin.dimF（Λ）-l（T·）≤fin.dim（F）≤fin.dimF（A）+l（T·）+2。
在定理1中，当F=End1Λ（-，-）时，Λ和Γ是通常的导出等价，T·是Λ上的倾斜复形使得End（T·）（）Γ.这时gl.dim（AΛ和gl.dim（Γ），fin.dim（Λ）和fin.dim（Γ）之间的关系，可以由定理1的证明中给出.即
（1）gl.dim（A）-l（T·）≤gl.dim（F）≤gl.dim（Λ）+l（T·）。
（2）fin.dim（Λ）-l（T·）≤fin.dim（Γ）≤fin.dim（Λ）+l（T·）。
其次，本文研究了三角范畴中的Gorenstein对象。
定理2假定M是T的一个对象，则ξ-Gproj.dim（M）≤n当且仅当M是某个强n-ξ-Gorenstein投射对象的直和项。
定理2给出了强n-ξ-Gorenstein投射对象与ξ-Gproj.dim（M）≤n的对象之间的关系.特别的，如果n=0，则有M是ξ-Gorenstein投射当且仅当M是一个强ξ-Gorenstein投射对象的直和项。
最后，本文考察一类Artin代数之间的导出等价。
定理3假定A和B是Cohen-Macaulay有限的Gorenstein Artin代数.如果A和B是导出等价的，则A和B的Cohen-Macaulay Auslander代数也是导出等价的。
在这个定理中，从已知的导出等价出发构造了新的导出等价。