论文部分内容阅读
Banach空间中微分方程积分方程解的存在性是近年来发展起来的一个新的数学分支，它来源于物理科学，生物学及其他应用学科并随着其他科学的发展而得到了巨大发展，它把常微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析的方法研究Banach空间中的常微分方程.
常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分方程学科的重要组成部分之一.常微分方程两点边值问题(如Dirichlet边值问题、Neumann边值问题、Robin边值问题、Sturm-Liouvill边值问题及周期边值问题等)已被深入而广泛的研究，并取得系统而深刻的结果.对于抽象空间中奇异两点边值问题，以及变号解的研究，这方面的结果还是相对较少的.本论文研究了上述问题，获得了一些较好的结果.
全文共分四章，本文第一章考虑了Banach空间中非线性奇异微分方程边值问题正解的存在性，奇异边值问题最早是在研究大气对流，天体演变及一些流体力学问题中提出来的.随着对奇异微分方程研究的逐步加深，人们发现，用泛函分析的方法研究此类问题能取得较好的结果，特别是国内这方面的专家郭大钧先生及其同仁的一系列专著的问世，为用泛函分析方法研究微分方程问题提供了雄厚的理论基础和强有力的工具.然而，在抽象空间中对奇异边值问题的研究，还不是很多，刘衍胜教授在文[4]中做过一些探讨，本文第一章把原文作了一般性推广，并给出了算子全连续的条件，然后利用不动点定理得到了正解的存在性.
众所周知，经典的常微分方程两点边值问题有着极为重要而广泛的理论和实际背景，相比之下，常微分方程非局部问题起步较晚，这里的“非局部问题”指常微分方程定解问题的定解条件不仅依赖于解在区间端点的取值，而且依赖于解在区间内部的某些点上的取值.尽管理论和应用中的许多问题均可归结常微分方程非局部问题，但由于非局部问题自身固有的难度，人们对非局部问题的研究起步相当晚.Kiguradze和Lomtatidze(1984)，I1in和Mdiseev(1987)开始讨论二阶线性常微分方程多点边值问题.1992年，Gupta开始研究二阶非线性常微分方程三点边值问题解的存在性.此后的十多年间，关于常微分方程非局部问题的研究取得了较大进展，但主要是正解的存在性，对变号解的研究相对较少，由于变号解有其实际应用背景(如解决某些生态问题)，因此很有必要对变号解问题加以研究.本文第二、三、四章重点研究了变号解的存在性.
第二章考虑了抽象空间中非线性算子方程变号解的存在性及应用.通过定义了一致有界正线性算子，即设E，X为两个Banach空间，P(∩)E为正规体锥，Q(∩)X为锥，K：X→E为线性算子.若(E)u*∈P0及常数β＞0，使得Kx≥β‖Kx‖u*，(A)x∈Q则称K为一致正线性算子若又(E)β1＞0使Kx≤β1‖x‖u*，(A)x∈Q则称K为一致有界正线性算子和一个u*连续算子，即若对(A)ε＞0，都(E)δ＞0，使得当u，v∈E且‖u-u‖＜δ时，有一εu*≤Au-Au≤εu*则称算子A为u*连续的.利用不动点指数方法，得到了变号解的存在性.
第三章研究了二阶微分算子方程三点边值问题变号解的存在性.通过附加某些条件，利用不动点指数理论，限制出解的范围，并利用解的范围，得出了两个变号解的存在性，并给出例子说明其应用.
最后一章考虑二阶非局部问题两个变号解的存在性.通过引入半内点和连续嵌入的概念，利用不动点指数方法，得到了两个变号解的存在性.