纯虚数阶修正贝塞尔函数和Meixner多项式的渐近展开

• 作 者: 史薇
• 机 构: 武汉大学
• 出 处: 武汉大学
• 发表日期: 2009年01期
• 关键词: 一致渐近展开 超渐近展开 Hadamard展开式 Airy型积分 误差估计 有理函数方法 纯虚数阶修正贝塞尔函数 Mexiner多项式

渐近分析是数学分析中一个十分重要的分支,它用来解决当某些参数趋向一个特殊值时函数的近似计算,或者是级数的近似计算。一般来说,渐近分析包含有两个主要的方向,（1）积分的渐近计算,（2）微分方程的渐近解。在这篇论文中,我们只研究第一个方向。对于求积分的渐近展开,有很多的古典方法,例如：Laplace方法,驻相法,Debye的最速下降法等等。但是这些古典的方法不能得到积分的一个一致的渐近展开式。而由于物理中实际问题的需要,在很多情况下我们需要得到一致成立的渐近展开式。因此,对于积分的渐近展开的研究,是十分有意义的。这篇论文我们分为三部分：（1）利用Paris提出的方法,处理当积分的最速下降线上有无穷多个鞍点的问题,从而得到积分的一个包含Hadamard展开式的超渐近展开式。（2）对Olde Daalhuis和Temme的有理函数方法进行改进,从而证明Airy函数型的积分展开式即使在鞍点的无界区域内也是一致成立的,并且得到纯虚数阶修正贝塞尔函数余项的可计算的误差估计。（3）受到上述有理函数方法的启发,将这种方法进行拓展,给出parabolic cylinder函数型积分展开的新的系数以及余项的表达式。并且基于这个展开式对余项进行估计,证明该展开式在鞍点参数趋于无穷时仍然成立。一类得到包含Hadamard展开式的积分的超渐近展开式的方法是由Paris最早提出的,这个方法主要是通过分解积分路线来得到积分的渐近展开式。Hada-mard展开式是一个绝对收敛的级数,它的展开包含着不完全的伽马函数,如果我们将这个展开式的尾项进行适当的处理,它将是一个衰减速度很快的收敛级数,其衰减速度和渐近级数的速度类似。因此它是一个用作超渐近展开的很好的工具。Paris用这方法解决很多积分展开的问题,比如Laplace类型的积分展开,积分的最速下降线上有相撞的鞍点,以及有极点的情况,并且还处理了Stokes’现象。而我们对这个方法做出细微的改动,使之能够处理最速下降线上有无穷多个鞍点的情况。我们将以纯虚数阶的修正贝塞尔函数来作为例子阐述我们的理论,并且给出一些数值结果来说明我们的展开式可以达到的计算精度。在论文的第二部分,我们利用由Olde Daalhuis和Temme提出的一种有理函数的方法,对这个方法进行一些改进,用来证明纯虚数阶修正贝塞尔函数的Airy型展开式确实在鞍点参数趋向无穷时仍然是一致成立的。在改进后,我们得到余项的新的表达式,基于这个表达式,我们可以给出余项的误差估计。由于得到Airy型展开式时,都需要做一个共形映射,这个映射一般是十分复杂的。这就决定了由积分的方法要想得到误差估计是十分困难的,通常我们只能得到理论上的阶的估计,而无法算出具体数值。而现在我们应用这个方法得到了某些特殊情况下的误差估计,这里我们还是用纯虚数阶修正贝塞尔函数为例,给出其误差估计的数值结果。在论文的最后一部分,我们将上述提到的有理函数方法扩展到解决parabo-lic cylinder函数型积分的一致展开式问题。由于由Olde Daalhuis和Temme提出的方法是用来解决Airy型展开式的,但是我们受此启发,其他类型的展开式应该也可以扩展到鞍点参数的无界区域中去。因此我们引入一系列类似的有理函数,从而得到展开式中系数和余项的新的表达式。现在我们得到的表达式是Cauchy积分的形式,基于这样的余项表达式,我们可以得到即使是鞍点参数趋于无穷也成立的余项估计。这里我们用Meixner多项式Mn（nα;β,c）来作为例子阐述我们的理论。