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自然界中纷繁复杂的系统呈现出极为丰富的现象,在这些现象的背后隐藏着虽然复杂但是固有并且有些是普适的规律。研究表明,系统内部动力学的非线性和相互作用的复杂性是引起系统复杂性的根本原因。非线性科学的研究已经有几十年的历史,如今已经发展成为一个横跨物理学[1]、天文学[2]、数学[3]、化学[4]、生物学[5]和社会科学[6]等领域的一门交叉学科,内容涉及孤子[8]、混沌[7]、分形[9]、斑图[10-12]以及非线性动力学[13]等领域,并且成为推动复杂性科学发展的一个中坚力量。在20世纪中叶,Belousov和Zhabotinsky通过金属离子催化有机物氧化的化学反应实验观测到化学反应振荡呈现出螺旋状波向外传播(后来称为螺旋波)[4,14,15],于是掀起了可激发介质研究的热潮。当前在可激发介质的研究中,人们对可激发介质产生的螺旋波、行波和靶波以及湍流态等进行了深入研究并取得的了丰硕成果。 就在世纪之交,小世界和无标度网络模型的提出使复杂网络的研究迅速在各学科领域蔓延[16,17]。这主要是因为各学科领域很多复杂系统可以看成若干组元的相互作用的结合体。若把该系统内各组元看成节点,其相互作用看成节点间的连线,则整个系统就能看成一个网络进行研究。网络的复杂拓扑结构和丰富的动力学行为给各领域的复杂系统研究注入了新的活力,再一次有力推动复杂系统领域的发展。 神经元是一个典型的具有可激发性的非线性动力系统。在生物神经系统中,各个神经元之间通过突触相互连接构成一个具有复杂拓扑结构的可激发网络系统。该系统具有计算、识别、联想记忆等重要功能,成为生物体不可或缺的一部分。当前,神经网络的研究已经硕果累累,有的已经产生了重要应用[11]。随着复杂网络和可激发系统的研究深入,生物以及人工神经网络结合前两者的研究成果再一次掀起新的研究热潮[18-20]。尽管生物及人工神经网络动力学已有多年研究,但仍然存在大量有待解决的科学问题,如单向和双向网络动力学的基本特征区别:抑制性节点的作用效果及机制等。而且,神经元及其构成的神经网络动力学的高度复杂性,使得神经网络的常微分方程模型研究不容易取得较为确切的理论结果,进行动力学行为探讨的学者们更多的是用计算机进行数值模拟。 本论文基于神经网络研究现状,对单向神经网络的一些重要特征进行近似和抽象,建立了简化的神经网络元胞自动机(也称布尔代数映射)模型,观测到单向神经网络中抑制性节点引起的一些有趣现象并分析了其内在机制;还对单向神经网络的一些动力学特征进行了逻辑论证,得到了该模型下网络动力学的若干结论;应用这些结论,获得了在全静息网络状态下个别节点因受外界刺激而激发所引起的全局网络振荡斑图预测的方法,并依据预测结果对网络进行有效调控,并且所有理论预测全部为数值模拟验证。以下是对论文所得重要结论的介绍: 1.本文研究了抑制性节点对不同振荡网络动力学的作用。发现:(I)在稀疏网络中从少到多增加抑制性节点比例会减弱网络的振荡强度,(这一点很容易从抑制性节点的抑制功能理解)。但在稠密网络中则恰恰相反,从少到多增加抑制性节点比例不但未减弱网络振荡强度,反而见到网络振幅的单调增加。这是本文首次发现的在网络动力学中节点抑制性行为的一种反常效应。(ii)当网络中抑制性节点增加到足够大的比例,所有网络振荡都会停息(这是从抑制性节点的抑制性可直观预见的结果)。但在稀疏和稠密网络中这种死亡行为大不相同。前者是通过网络振幅逐渐减小,网络中死亡节点数逐渐增加,最终导致网络在极弱振荡下的振荡死亡;而稠密网络则是在增加抑制性节点导致振幅不断增加的情况下,在振幅几乎达到最高且绝大部分节点仍然活跃的条件下突然死亡。这也是在人工神经网络动力学中发现的一个新现象。(iii)当我们在振荡网络中增加抑制性节点数至网络振荡死亡临界,再逐步减少抑制性节点的比例时,在稀疏网络我们观察到很明显的可逆的前行和逆行的演化轨迹,然而在稠密网络中则看到逆行轨迹完全不可逆于前行轨迹的现象。我们又发现,所有上述(I)(ii)(iii)的行为特征都可用抑制节点的两种相互竞争的动力学效应来解释:一是抑制性节点有抑制其作用节点激发功能;二是抑制性节点又具有使其作用节点同步化的动力学倾向。在稀疏网络中,前者始终占支配地位,而在稠密网络中在抑制性节点比例不大时后者则统治了网络的动力学。这一竞争行为的区别导致上述非常不同甚至有些点与直觉相反的网络动力学行为。 2.本文采用可激发元胞自动机网络模型在逻辑上论证了可激发网络振荡系统的以下定理: (I).如果网络存在任何振荡超前驱动(Phase-advanceddriving,PAD)环,那么系统就会一直振荡下去。该结论根据网络中的局域环的初始相分布给出了一个预测网络全局振荡的强有力的结论。 (ii).任何一个PAD环不会因环外刺激而降低频率,所有可激发元胞自动机网络必然通过频率增加演化到一个由最快相超前驱动环统治的周期振荡态,且此振荡态由振荡最快的PAD环统治。该结论的一个重要推论是,只要网络节点动力学具有严格的逻辑行为(即任一进入激发态的节点一定能在下一时刻成功激发该节点所作用的任何处于静息态的节点),那么准周期和混沌等复杂的振荡行为就一定不会出现在网络中。 (iii).处于全静息态的网络,若有部分节点因受到外界刺激而激发,网络能够自维持振荡的充分必要条件是出现任意一个被其他节点相互作用二次激发的节点。因为二次激发的节点一旦出现,就意味着网络中存在着能维持系统振荡的PAD环。利用该结论可根据个别节点激发行为的纯粹的局域动力学直接判断整个网络的整体自维持振荡性质。 3.论文研究了全静息网络在个别节点受到外界激发下产生的自持续振荡行为,并依靠上述定理本文得以通过网络拓扑预测稳定振荡态的振荡频率和整个斑图动力学,给出了通过斑图映象(Graphmap)数学上推导渐近斑图的规则。同时,可用此方法高效率的调控斑图动力学(而仅用改变网络中尽可能少的节点或作用连边来实现有目的的调控网络振荡行为)。