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积分微分方程广泛存在于物理学、工程学、经济管理学、控制理论和大数据科学计算等诸多领域中,这些方程经离散化后可以得到对应的非线性矩阵方程。由于这些方程一般在理论上难以求出解的表达形式,因此如何通过计算机在数值上求得方程的解显得尤为重要。随着近十几年计算机的飞速发展,非线性矩阵方程的数值解在计算数学领域逐渐发展成为了一个非常热门的课题,研究这些数值求解方法不但有助于方程理论本身的发展而且在实际应用中也具有非常重要意义。本文主要研究的是来自于粒子转移理论中的非对称代数Riccati矩阵方程和一类纳米设备建模中非线性矩阵方程的数值求解问题。第二章,对来自粒子运输转移理论的代数Riccati矩阵方程,设计了一种自适应的混合非线性块分裂双倍Newton型迭代方法进行求解。这种方法主要包含两个转换开关,一个用来检测当前是否处于临界收敛较慢的状态,另一个开关能够在方程接近或处于临界状态,自动地将当前迭代转换到双倍Newton型迭代进行加速。同时利用零空间和值域空间上的投影理论,我们建立了这种新的混合迭代方法的全局收敛性。数值试验表明这种迭代方法能够在方程接近和处于临界状态时非常有效的计算出具有实际意义的最小非负解。第三章,对粒子运输转移理论中代数Riccati矩阵方程研究了已有的三种预估-校正迭代算法的收敛速度的问题。这三种迭代算法的思想是在方程向量形式的Newton迭代下导入一个预处理步,从而得到了三种不同的预估-校正迭代方法。在这一章我们继续研究了这三类预估-校正方法的收敛速度问题。通过深入研究三类方法的迭代过程,首先构造性地建立了两个不同的M矩阵,以此证明这三类预估-校正方法的迭代格式是来自于这两个M矩阵不同形式下的正则分裂,然后通过不动点迭代理论得到了三类迭代方法的渐进收敛率。特别地,我们还从理论上证明了新的预估-校正迭代方法不会比简单预估-校正迭代方法收敛更快。数值实验也验证了我们建立的收敛率定理。第四章,讨论了一类纳米设备建模中非线性矩阵方程数值求解问题。针对迭代方法原有效率指标的局限性,原创性的提出了一种全局效率指标。并以此直接从格林函数对应的无限块三对角矩阵入手,将方程转化成一个二次多项式矩阵方程,由此采用循环约化算法思想设计了一个在非临界状态具有三次收敛速度的三倍算法。同时讨论了这种算法与保辛结构的关系。在一定的可解条件下建立了三倍算法在非临界状态下的收敛性和三次收敛率。另一方面,针对纳米设备建模中相关矩阵具有低秩结构的特点,对大规模非线性矩阵方程设计了对应的低秩结构算法,详细建立了其“核更新”的迭代格式。同时对算法进行了详细的复杂度分析,结果表明低秩三倍算法与现有的低秩加倍算法具有相同的预处理复杂度。误差分析进一步表明新的算法也可以和原低秩加倍算法一样以线性方式传递误差。而与现有的低秩加倍迭代算法相比,我们设计的算法优点在于能够以可忽略的计算时间为代价在更少的迭代次数内来获得更小的方程残量。