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1988年，Brosamler和Schatte各自发现了几乎处处中心极限定理，它揭示了古典中心极限定理的新现象.随后经过多位学者的努力发现，不但中心极限定理有几乎处处中心极限定理，其它很多有关独立随机变量序列的弱极限定理也有几乎处处中心极限定理与之对应.Berkes和Csaki在总结其他人工作的基础上，得到了一个很普遍的几乎处处中心极限定理.本文在此工作的基础上，建立了可分距离空间上独立随机元序列的与Berkes和Csaki的结论相类似的结果.作为应用，讨论了可分Banach空间上独立同分布随机元序列的几乎处处中心极限定理，一类独立同分布随机过程序列的几乎处处中心极限定理以及多维独立同分布随机变量序列的几乎处处中心极限定理.