【摘 要】
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设G=(V(G),E(G))是一个图.定义函数f:V(G)→{0,1,2,3},如果满足以下条件:(i)若f(u)=0,则存在两个顶点v1,v2 ∈N(u)使得f(u1)=f(v2)=2,或存在一个顶点w∈ N(v)使得f(w)=3;(ii)
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设G=(V(G),E(G))是一个图.定义函数f:V(G)→{0,1,2,3},如果满足以下条件:(i)若f(u)=0,则存在两个顶点v1,v2 ∈N(u)使得f(u1)=f(v2)=2,或存在一个顶点w∈ N(v)使得f(w)=3;(ii)若f(u)=1,则存在一个顶点u ∈ N(v)使得f(u)≥2,那么我们就把这个函数f称为图G的双罗马控制函数(double Roman domination function),简记为DRDF.如果一个函数f:V(G)→{0,1,2,3}既是图G的一个双罗马控制函数,又是图G的补图G的一个双罗马控制函数,那么就称这个函数f为图G的广义双罗马控制函数(global double Roman domination function),简记为 GDRDF.一个广义双罗马控制函数的权重为w(f)=∑v∈Vf(u).称G的所有广义双罗马控制函数中权重最小的函数的权重为图G的广义双罗马控制数,记为γgdR(G).称G的一个具有权重为γgdR(G)的广义双罗马控制函数为图G的一个γgdR-函数.在本文中,我们首先研究了图的广义双罗马控制数的上下界问题.我们通过对图的直径、围长以及度这三个参数的分析,得到了图的广义双罗马控制数的上下界分别与这三个参数之间的关系,并证明了其中的一些广义双罗马控制数的界是紧的.接下来,对于Z.Shao(2019)等人在文章Global double Roman domination in graphs中提出了一个开放性问题:刻画满足γgdR(G)=γdR(G)+t的图G,其中t∈ {0,1,2,3,4,5}.我们研究了这个开放性问题在树上的情况,即证明了对于任意的阶为n ≥4的树T,都有γgdR(T)≤γdR(T)+3.并且刻画了 γgdR(T)=γdR(T)=+3,γgdR(T)=γdR(T)+2和γgdR(T)=(γdRT)+1 的所有树T.
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