凸函数的Jensen不等式及其应用

• 作 者: 刘丽红
• 出 处: 重庆理工大学
• 发表日期: 2010年期
• 关键词: 凸函数 Jensen不等式 重复样本点 不重复样本点 映射

与凸函数有关的不等式在数学基础理论和应用中起着非常重要的作用。凸函数的Jensen不等式是凸函数重要的经典内容之一,它有着广泛的应用。1905年,J.L.W.V.Jensen第一个用不等式定义了凸函数,Jensen不等式由此得名。Jensen不等式随着凸函数的产生而产生,并随着其发展而发展,凸函数的理论和应用研究均是通过它而实现的。凸函数的凸性和其本身的定义是建立在不等式基础上的这一事实,使凸函数成为了证明不等式的重要工具,由此建立、改进和推广了大量的不等式。关于凸函数Jensen不等式的改进、扩展、推广和应用一直是数学家们研究的热点问题。本文首先在文[22,25,30]的基础上,利用组合方法建立了重复样本点的加权平均与不重复样本点的加权平均之间的Jensen不等式,此Jensen不等式是文[22]中定理2的Jensen不等式的推广。接着,由该不等式建立了两个新映射并使用函数凸性研究了这两个新映射的性质,进一步获得了若干新的离散型变量不等式。其次继文[41]的工作:使用凸函数的左右导数单调性及积分性质研究了该文中两个映射的新性质,由此获得了两个新的连续型变量不等式,同时利用这两个不等式又证明了该文中的两组已知性质(本文的证法较原文的简单)。最后,本文给出了与Chebyshev不等式相关的三个定理,以此作为本文应用部分的预备知识,然后将上述离散型变量不等式与由连续型变量不等式证明的性质应用于Chebyshev不等式及上述三个定理中,从而获得了若干较好的结果,丰富了不等式理论。