【摘 要】
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罗巴（Rota-Baxter）算子是积分算子的代数抽象和推广.本文以罗巴代数及与其相关的平均代数为核心,从算子、代数和operad三个角度研究了它们.全文共分为六章.第一章首先陈述了所研究课题的背景及发展概况；然后介绍了本文的研究动机和主要结果.第二章是预备知识,列举了本文所需的概念、术语和符号.第三章首先确定了sl（2,C）上所有权为零的罗巴算子的具体形式；其次,使用三种不同的方法,利用所获得的
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罗巴（Rota-Baxter）算子是积分算子的代数抽象和推广.本文以罗巴代数及与其相关的平均代数为核心,从算子、代数和operad三个角度研究了它们.全文共分为六章.第一章首先陈述了所研究课题的背景及发展概况；然后介绍了本文的研究动机和主要结果.第二章是预备知识,列举了本文所需的概念、术语和符号.第三章首先确定了sl（2,C）上所有权为零的罗巴算子的具体形式；其次,使用三种不同的方法,利用所获得的罗巴算子,分别得到了sl（2,C）以及另外两类六维李代数中经典Yang-Baxter方程的解；最后,本文还确定了sl（2,C）上由其罗巴算子诱导的所有预李代数.第四章从代数的角度研究了平均算子.首先,明确地给出了非空集合上自由非交换平均代数的构造.其次,详细研究了由单点集以及幂等平均算子生成的平均字的计数问题,确定了以字母个数和算子个数作为双参数的双变元生成函数并发现了这类平均字与大Schroder序列之间的一个联系.最后,利用括号字以及根树,给出了大Schroder序列的两个新的组合描述和一个新的递推关系式.第五章着重研究了罗巴代数与operad构造.作为[6]所研究课题的继续,本文引入了一个新概念“C-分裂”,它从两个方向推广了[6]中二元operad上的分裂.一方面,它将二元operad的情形推广到任意operad上.另一方面,借助概念"configuration"它可以统一处理所有类型的分裂,特别地可以将原来的bisuccessor和trisuccessor放在统一的框架下研究.利用C-分裂,本文精确地、系统地研究了任意代数的分裂现象,明确了分裂与叶形型（Dendriform-type）代数之间的关系并给出了构造广义叶形型代数的一般法则.最后,本文讨论并研究了任意代数上的罗巴算子,定义了C-相对罗巴算子的概念并研究了它与C-分裂之间的关系.第六章着重研究了平均代数与operad构造.本章引入了二元operad的一个新的构造replicator"它将结合代数中的“复制”现象推广到任意二元代数上.它可以系统地研究代数结构中的二型代数（Di-type）也可以将现有的很多看起来无关的代数联系起来，还可以给出一个构造新的二型代数的一般法则.另外,在二元二次的前提下,本文证明了P的replicator与P!的分裂是Koszul对偶.利用这个对偶性,本文用Manin白积等价刻画了replicator进而提供了一个计算P与特殊operad的Manin白积的简便方法.最后,本文证明了平均算子和replicator的关系类似于罗巴算子和分裂的关系.结合分裂与replicator的对偶性,可以给出平均算子与罗巴算子的一个新的联系.
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