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Pardoux,Peng[82]在1990年发表了他们关于非线性倒向随机微分方程（简记为BSDEs）的奠基性论文。受[82]的启发,关于BSDEs的研究越来越多,并且广泛应用于随机控制（[87]）、金融数学（[34]）、偏微分方程（[84,89]）等领域。在众多的应用中,研究人员的一个主要目标是推广生成元的Lipschitz假设,以保证解的存在唯一性。例如在1997年,Lepeltier,San Martin[59]研究了带连续生成元的BSDEs解的存在性。进一步,Jia[51]得到了带连续系数的BSDEs的唯一性定理。在1994年,Pardoux,Peng[83]将BSDEs的概念推广到倒向重随机微分方程（简记为BDSDEs）,这个方程中既包含一个由布朗运动W驱动的标准（正向）随机积分,也包含一个由布朗运动B控制的倒向随机积分。关于BDSDEs的其他最新发展,我们可以参考[18,19,41,65,95,94]及其引用文献。平均场理论可以追溯到Kac[52]在1956年的工作。Kac[52]研究了平均场随机微分方程（简记为SDEs）,也就是著名的McKean-Vlasov方程。从那时起,由于其大量的应用,平均场问题得到了许多学者的研究。值得特别说明的是Lasry,Lions[58]在2007年的开创性论文将平均场问题的应用领域推广到经济学、金融学和对策论。近年来,法国科学院院士P.L.Lions在Collège de France的系列讲座[69]（也可以参考Cardaliaguet[21]对讲座的注解）为平均场理论的研究提供了新的动力。在系列讲座中,P.L.Lions引入了定义在P2（Rd）上的函数关于概率测度可微性的概念。受此启发,Buckdahn,Li,Peng,Rainer[17],Li[62],Carmona,Delarue[26],Cardaliaguet[22],Hao,Li[44]等人做了一系列工作。本论文我们将考虑一般情形的平均场BDSDEs,也就是说,我们要考虑的BDSDEs的系数不仅依赖于解过程,而且还依赖于解的分布。本论文主要研究了两部分内容:一、在不同条件下,研究一般情形下平均场BDSDEs的存在性定理、唯一性定理和比较定理等结论;二、研究一般情形的平均场BDSDE及相关的平均场型倒向随机偏微分方程。下面我们将进一步阐述本论文的内容和结构。在第一章中,我们主要介绍了第二章到第四章所研究的问题和研究背景。在第二章中,我们将Pardoux,Peng[83]中引入的BDSDE推广到平均场情形,考虑了一般情形的平均场BDSDEs,也就是说,我们的平均场BDSDEs的生成元不仅依赖于解,而且依赖于解的分布。本章的第一部分讨论了一般情形的平均场BDSDEs在Lipschitz条件下解的存在唯一性。值得注意的是,与Pardoux,Peng[83]中不同,我们处理了 BDSDE的倒向积分中的一个驱动系数,对于这个驱动系数,只需要假设关于解的分布的Lipschitz假设,而不需要假设这个Lipschitz常数足够小。进一步,我们还建立了高阶矩估计,并得到了一维一般情形的平均场BDSDEs的比较定理。在本章的第二部分中,我们利用Lipschitz条件下比较定理,研究了带连续系数f的一般情形的平均场BDSDEs的一个存在性定理和一个比较定理。最后,我们讨论了带一致连续系数f的一般情形的平均场BDSDEs的唯一性定理。由[68]可知,当生成元不依赖于解过程的分布时,我们即使假设f关于y是一致连续的,并且关于z是Lipschitz的,也并不能保证BDSDEs解的唯一性。特别地,当f关于z不是Lipschitz的,而是满足一致连续性条件时,很难得到唯一性定理。值得指出的是,通过一种新的方法,我们成功地证明了当f关于（μ,y,z）是一致连续的时,平均场BDSDE的唯一性定理。本章的主要创新点:首次得到了对BDSDE的倒向积分中关于Z的分布的Lipschitz常数没有任何限制的存在唯一性结论,并且得到了相应的高阶矩估计。我们还研究了连续条件下一维BDSDE解的存在性结论,并基于一种非平凡的方法得到了一致连续条件下的唯一性结论。本章来自于论文:J.Li,C.Xing.General mean-field BDSDEs with continuous coefficients.Journal of Mathematical Analysis and Applications,506（2）,125699,2022.DOI:10.1016/j.jmaa.2021.125699.在第三章中,基于第二章工作的基础,我们在平均场框架下研究了多维BDSDEs的比较定理及其在带连续漂移系数的BDSDEs中的应用。本章的第一部分研究了在Lipschitz条件下,多维平均场BDSDEs的比较定理。作为直接推论,我们推出多维平均场BSDEs的一个比较结论。在第二部分,我们把Li,Liang,Zhang[63]的工作推广到了多维情形,通过构造新的Lipschitz平均场系数来逼近连续的平均场系数,结合第一部分中的比较结论,证明了带连续漂移系数的多维平均场BDSDEs解的存在性和一个比较定理,其中这个连续漂移系数也是线性增长的。本章的主要创新点:得到了多维BDSDEs在Lipschitz条件下的比较定理,并将Li,Liang,Zhang[63]首次提出的技术推广到多维情形,构造了一类新的Lipschitz函数序列来逼近连续函数,并基于此方法证明了带连续系数的多维平均场BDSDEs的存在性定理和比较定理。本章来自于论文:J.Li,C.Xing,Y.Peng.Comparison theorems for multi-dimensional general mean-field BDSDEs.Acta Mathematica Scientia,41（2）,535-551,2021.在第四章中,我们研究了一般情形的平均场BDSDEs及相关的平均场型非局部半线性倒向随机偏微分方程（简记为SPDEs）。也就是说,BDSDE的系数也依赖于解过程以及相应的平均场随机微分方程（简记为SDEs）解的联合分布。为了完成这一非平凡推广,我们利用Buckdahn,Li,Peng,Rainer[17]在研究平均场SDEs时引入的分离方法,对BDSDE进行了研究。当系数在适当的正则性假设下,我们研究了解过程（Yt,x,Pξ,Zt,x,Pξ）关于x的一阶和二阶导数,解过程关于测度Pξ的导数（?μYt,x,Pξ（y）,?μZt,x,Pξ（y））,以及（?μYt,x,Pξ（y）,?μZt,x,Pξ（y））关于y的导数。然而,由于参数（x,Pξ）和（x,Pξ,y）是在无限维空间中的,所以与Pardoux,Peng[83]不同的是,我们不能对值函数V（t,z,Pξ）:=Ytt,x,Pξ应用Kolmogorov连续性准则:尽管在[83]研究的经典情形中,值函数V（t,x）=Ytt,x可以被证明是在C1.2（[0,T]×Rd）类中的,但是对于值函数V（t,x,Pξ）以及它的导数?μV（t,x,Pξ,y）,我们只能得到它们分别关于x和y的L2-可导性。然而,我们又必须要对V（s,Xst,x,Pξ,PXst,ξ）应用It?公式。因此为了克服这个困难,我们引入了确定性函数Ψ（t,x,Pξ）:=E[V（t,x,Pξ）·η],对适当的η∈L∞（F;R）,并且对Ψ我们可以证明它是一个Cb1,2,2,-函数。对Ψ（s,Xst,s,Pξ,PXst,ξ）应用平均场It?公式对于证明V是相关平均场倒向SPDE的一个解是至关重要的。通过定义解过程V所属的适当空间,我们利用同样的方法可以证明解的唯一性。除此之外,利用类似的方法,我们将经典的平均场It?公式推广到BDSDEs的解。本章的主要创新点:我们将Buckdahn,Li,Peng,Rainer[17]的经典的平均场It?公式推广到平均场BDSDEs解的光滑函数,并利用这个It?公式给出了相关的平均场型非局部半线性倒向SPDEs的概率解释。本章来自于论文:R.Buckdahn,J.Li,C.Xing.Mean-field BDSDEs and associated nonlocal semi-linear backward stochastic partial differential equations,已投稿。在第五章中,我们总结了本论文第二至四章的主要研究内容并给出研究展望。下面是本文的章节目录和主要内容。一、第一章引言;二、第二章带连续系数的一般情形的平均场倒向重随机微分方程;三、第三章多维一般情形的平均场倒向重随机微分方程的比较定理;四、第四章平均场倒向重随机微分方程和相关倒向随机偏微分方程;五、第五章总结与展望。第二章:本章我们讨论了一般情形的平均场BDSDEs在Lipschitz条件下解的存在唯一性,建立了高阶矩估计,并得到了一维一般情形的平均场BDSDEs的比较定理。进一步,我们研究了带连续系数f的一般情形的平均场BDSDEs的一个存在性定理和一个比较定理。最后,得到了带一致连续系数f的一般情形的平均场BDSDEs的唯一性定理。给定ξ∈L2（Ω,FT,P;Rk）,考虑如下一般情形的平均场BDSDEs:（?）（0.0.1）其中关于B的积分是It?倒向的,我们记为dB。定理2.2.1.在假设（H2.2.1）-（H2.2.6）下,一般情形的平均场BDSDE（0.0.1）存在唯一解（Y,Z）∈S2（0,T;Rk）×H2（0,T;Rk×d）。我们需要注意的是,在假设（H2.2.2）中我们假设α1,α2＞0以及0＜α1+α2＜1。然而,当g不依赖于z,并且α2≥1时,一般情形的平均场BDSDE（0.0.1）仍然可以有唯一解,这与经典情形是不同的。也就是说,现在我们考虑如下平均场BDSDE:（?）（0.2.2）我们有如下存在唯一性结论:定理 2.2.2.令 g（s,μ,y）满足假设（A2.2.1）,f（s,μ,y,z）满足假设（H2.2.3）和（H2.2.4）,ξ∈D1,2（D[·]:=DW[·]是关于W的Malliavin导数）。进一步,我们假设（ⅰ）f和g都是确定性的,f关于y和z可导,g关于y可导。（ⅱ）|g（s,δ0,0）≤C,|?yg（s,δ0,0）|≤C.（ⅲ）|f（s,δ0,0,0）≤C,|?yf（s,δ0,0,0）|≤C,|?zf（s,δ0,0,0）|≤C.（ⅳ）g（s,·,·）,f（s,·,·,·）,?yg（s,·,·）,?yf（s,·,·,·）,?zf（s,·,·,·）都是 Lipschitz 的,并且关于 s∈[0,T]一致。（ⅴ）E[|Dr[ξ]|4]≤C,r∈[0,T].那么方程（0.0.2）存在唯一解（Y,Z）∈S2（0,T;Rk）×H2（0,T;Rk×d）。进一步,我们证明了平均场BDSDE（0.0.1）的先验估计和高阶矩估计。命题2.2.2.（先验估计）我们假设g满足（H2.2.1）和（H2.2.2）,f满足（H2.2.3）和（H2.2.4）,h满足（H2.2.5）和（H2.2.6）,ξ∈L2（Ω,FT,P;Rk）,并且（Y,Z）是平均场BDSDE（0.0.1）的解。那么存在一个常数C＞0,其仅依赖于f,g和h的Lipschitz常数以及α1,α2,使得命题 2.2.3.我们假设g满足（H2.2.1）和（H2.2.2）,f满足（H2.2.3）和（H2.2.4）,h满足（H2.2.5）和（H2.2.6）。进一步,我们假设对p≥2,Cp（α1+α2）p/2＜1。这里Cp:=2p-1Cp*（（p/（p-1）p+1）Cp’,Cp*=2-p-23pp3p+2p/2,Cp’:=（p/（p-1）p3p-1（2Cp5p-1∨（6p3）p5p/2-1）,C是（H2.2.2）,（H2.2.4）,和（H2.2.6）中的 Lipschitz 常数。（Y,Z）是平均场 BDSDE（0.0.1）的解。那么存在一个常数Cp∈R+,其仅依赖于f,g和h的Lipschitz常数以及α1,α2 和 p,使得此外,我们还给出了比较定理。由参考文献[16]中的例3.1和3.2我们知道,如果生成元f依赖于Z的分布或者关于Y的分布非增,我们通常得不到比较定理。另一方面,如果g和h依赖于Z的分布或者依赖于Y的分布,我们也得不到比较定理。因此,令k=1,现在我们考虑如下平均场BDSDEs:（?）（0.0.3）.定理 2.2.3.（比较定理）令 g（s,ω,y,z）满足假设（H2.2.1）,（H2.2.2）,fi=fi（s,ω,μ,y,z）,i=1,2,满足（H2.2.3）,其中一个fi满足（H2.2.4）,其中一个fi满足（A2.2.2）,并且令ξ1,ξ2∈L2（Ω,FT,P;R）,（Y1,Z1）和（Y2,Z2）分别是参数为（ξ1,∫1,g）和（ξ2,∫2,g）的平均场 BDSDE（0.0.3）的解。进一步,如果 ξ1≤ξ2,P-a.s.并且f1（s,μ,y,z）≤f2（s,μ,y,z）,dsdP-a.e.,对所有的（μ,y,z）都成立,那么Ys1≤Ys2,对所有的s∈[0,T],P-a.s.利用定理2.2.3,我们研究了当f是连续系数时,一维平均场BDSDE（0.0.3）解的存在性和比较定理。定理 2.3.1.假设f:[0,T]×Ω×P2（R）×R×Rd→R 和 g:[0,T]×Ω×R×Rd→Rl分别满足（H2.2.3）,（H2.3.1）-（H2.3.3）和（H2.2.1）,（H2.2.2）。那么,对所有的ξ∈L2（Ω,FT,P;R）,平均场 BDSDE（0.0.3）存在一个解（Y,Z）∈S2（0,T;R）×H2（0,T;Rd）。进一步,方程（0.0.3）存在一个最小解（Y,Z）和一个最大解（Y,Z）。定理2.3.2.（比较定理）假设ξ1,ξ2∈L2（Ω,FT,P）,g满足（H2.2.1）和（H2.2.2）,f1满足（H2.2.3）,（H2.3.1）-（H2.3.3）,f2满足（H2.2.3）。令（Y1,Z1）是参数为（ξ1,f1,g）的平均场 BDSDE（0.0.3）的最小解,（Y2,Z2）∈S2（0,T;R）×H2（0,T;Rd）是参数为（ξ2,f2,g）的平均场BDSDE（0.0.3）的一个解。如果ξ1≤ξ2,P-a.s.,并且对所有的（μ,y,z）,f1（s,μ,y,z）≤f2（s,μ,y,z）,dsdP-a.e.,那么Yt1.≤Yt2,对所有的t∈[0,T],P-a.s.进一步,当f依赖于分布,并且关于y不是Lipschitz的时,我们得到解的唯一性。定理 2.3.3.假设（H2.2.1）-（H2.2.3）,（H2.3.1）和（H2.3.4）成立。φ是上凸的并且满足∫0+[φ（（?））]-2dx=+∞。f关于z是 Lipschitz 的。那么平均场 BDSDE（0.0.3）存在唯一解（Y,Z）∈S2（0,T;R）×H2（0,T;Rd）。如果f关于z不是Lipschitz的,并且关于z仅满足（H2.3.5）,那么平均场BDSDE（0.0.3）也可能存在唯一解,即有如下定理:定理 2.3.4.令g（s,y,z）满足假设（H2.2.1）和（H2.2.2）,f（s,μ,y,z）满足假设（H2.2.3）,（H2.3.1）,（H2.3.4）和（H2.3.5）。φ是上凸的,并且满足∫0[φ（x）]-1dx=∞。令ξ∈D1,∞（D[·]=DW[·]是关于W的Malliavin导数）。进一步,我们假设（ⅰ）g（s,y,z）=g（s）y,其中 g（s）是Fs,TB-可测的,并且 |g（s）|≤C,s∈[0,T]。（ⅱ）f不依赖于ω∈Ω。那么平均场 BDSDE（0.0.3）存在唯一解（Y,Z）∈S2（0,T;R）×H2（0,T;Rd）。第三章:本章我们研究了多维平均场BDSDEs的比较定理及其在带连续漂移系数的BDSDEs中的应用。我们首先考虑了在Lipschitz条件下,多维平均场BDSDEs的比较定理。进一步,利用Lipschitz情形的比较定理,我们证明了带连续漂移系数的多维平均场BDSDEs解的存在性,并将比较定理推广到带连续系数的多维平均场BDSDEs。给定ξ1,ξ2∈L2（Ω）FT,P;Rk）,我们将考虑如下k-维平均场BDSDEs的比较定理:（?）（0.0.4）（?）（0.0.5）定理3.2.1.令ξ1,ξ2满足假设（H3.2.1）,g（t,ω,g,z）满足假设（H2.2.1）和（H3.2.5）,令fi=fi（t,ω,μ,y,z）,i=1,2,是两个满足假设（H2.2.3）和（H3.2.2）的生成元。进一步,我们设fi之一满足假设（H3.2.3）,fi之一满足假设（H3.2.4）。记（Y1,Z1）和（Y2,Z2）分别是参数为（ξ1,f1,g）和（ξ2,f2,g）的平均场BDSDE（0.0.4）,（0.0.5）的解。那么,Ys1≤Ys2对所有的s∈[0,T],P-a.s.作为定理3.2.1的应用,我们研究了带连续系数的多维平均场BDSDE通过推广Li,Liang,Zhang在[63]的工作,我们构造了一类新的Lipschitz函数序列来逼近连续的平均场系数f,得到了带连续系数的多维平均场BDSDE的存在性定理和比较定理。定理 3.3.1.假设f=f（s,ω,μ,y,z）:[0,T]×Ω×P2（Rk）×Rk×Rk×d→Rk和g=g（s,ω,y,z）:[0,T]×Ω×Rk×Rk×d→Rk×1都是可测的,{Ft}-适应的。进一步,令g 满足（H2.2.1）和（H3.2.5）,f满足（H2.2.3）,（H3.3.1）-（H3.3.5）。那么,对所有的ξ∈L2（Ω,FT,P;Rk）,平均场BDSDE（0.0.6）存在一个适应解（Y,Z）∈S2（0,T;Rk）×H2（0,T;Rk×d）。进一步,（Y,Z）是（0.0.6）的最小解,即对（0.0.6）的其他任意解（Y,Z）,我们有Ys≤Ys,s∈[0,T],P-a.s.定理3.3.2.假设ξ1,ξ2∈L2（Ω,FT,P）,g满足（H2.2.1）和（H3.2.5）,f1满足（H2.2.3）,（H3.3.1）-（H3.3.5）,f2满足（H2.2.3）。令（Y1,Z1）是参数为（ξ1,f1,g）的平均场BDSDE（0.0.6）的最小解,（Y2,Z2）∈S2（0,T;Rk）×H2（0,T;Rk×d）是参数为（ξ2,f2,g）的平均场BDSDE（0.0.6）的一个解。如果ξ1≤ξ2,P-a.s.,并且对所有的（μ,y,z）,f1（s,μ,y,z）≤f2（s,μ,y,z）,dsdP-a.e.,那么Yt1≤Yt2对所有的l∈[0,T],P-a.s.第四章:本章我们研究了平均场BDSDEs及相关的非局部半线性倒向SPDEs。在适当的正则性假设下,我们得到了值函数V（t,x,Pξ）:=Ytt,x,Pξ的L2-正则性。最后,我们用C1,2,2-函数Ψ（t,x,Pξ）:=E[V（t,x,Pξ）·η],对适当的η∈L∞（F;R）,来刻画V=（V（t,x,Pξ））作为相应平均场倒向SPDE的唯一解。除此之外,我们还推广了[17]中的平均场It?公式。首先将[17]中经典的平均场It?公式推广到平均场BDSDEs解的光滑函数。定理 4.1.1.（It? 公式）令 F∈Cb1,2,2（[0,T]×Rd×P2（Rd））。给定f∈HF2（0,T;Rd）,g∈HF2（0,T;Rd×l）,ξ∈L2{FT;Rd）,u∈HF2（0,T;Rd）,v∈HF2（0,T;Rd×l）,η∈L2（FT;Rd）。我们考虑如下两个 BDSDEs 的解（Y,Z）,（U,V）∈SF2（0,T;Rd）×HF2（0,T;Rd×d）:（?）t∈[0,T],（?）t∈[0,T],那么,对所有的t∈[0,T]我们有考虑一对随机微分方程:以及两个解耦的倒向重随机微分方程:其中∏st,ξ:=（Xst,ξ,Yst,ξ,Zst,ξ）,∏st,x,ξ:=（Xst,x,ξ,Yst,x,ξ,Zst,x,ξ）,（t,x,ξ）∈[0,T]×Rd×L2（gt;Rd）。我们研究了上述SDEs的解（Xt,ξ,Xt,x,ξ）,以及BDSDEs的解（Yt,ξ,Zt,ξ）和（Yt,x,ξ,Zt,x,ξ）。我们不仅得到了平均场BDSDEs解的存在唯一性和相应的估计,而且证明了（Xt,x,ξ,Yt,x,ξ,Zt,x,ξ）仅通过ξ的分布Pξ依赖于ξ（也就是说,（Xt,x,ξ,Yt,x,ξ,Zt,x,ξ）=（Xst,x,Pξ,Yst,x,Pξ,Zst,x,Pξ））。进一步,在适当的正则性假设下,我们得到解过程Xt,x,Pξ和（Yt,x,Pξ,Zt,x,Pξ）的一阶和二阶导数,即有:定理4.4.1.令假设（H4.4.1）成立。那么Xt,x,Pξ关于x的L2-导数存在,我们将其记为?xXt,x,Pξ=（?xXt,x,Pξ,j）1≤j≤d。进一步,?xXt,x,Pξ只被一个SDE所刻画。定理4.4.2.令（b,σ）满足假设（H4.4.1）。那么对所有的0≤t≤s≤T,x∈Rd,提升过程L2（gt;Rd）?ξ→Xst,x,ξ∈L2（gs;Rd）是Fréchet可导的,并且Fréchet导数为（?）,η=（η1,η2,…,ηd）∈L2（gt;Rd）,其中对所有的y∈Rd,?μXt,x,Pξ（y）∈Sg2（t,T;Rd×d）被一个SDE所刻画。定理4.5.1.在假设（H4.4.1）和（H4.5.1）下,（Yt,x,Pξ,Zt,x,Pξ）关于x的L2-导数存在,我们将其记为（?xYt,x,Pξ,?xZt,x,Pξ）。进一步,（?xYt,x,Pξ,?xZt,x,Pξ）被一个BDSDE所刻画。定理4.5.2.令假设（H4.4.1）和（H4.5.1）成立。那么对所有的0≤t≤s≤T,x∈Rd,提升过程L2（gt;Rd）?ξ→Yst,x,ξ:=Yst,x,Pξ∈L2（Fs;Rd）和 L2（gt;Rd）?ξ→Zst,x,ξ:=Zst,x,Pξ∈HF2（t,T;Rd）都是Fréchet可导的,并且Fréchet导数为（?）,s∈[t,T],P-a.s.,（?）,dsdP-a.e.,对于所有的η=（η1,η2,…,ηd）∈L2（gt;Rd）,其中对所有的y∈Rd,（?μYt,x,Pξ（y）,?μZt,x,Pξ（y））∈SF2（t,T;Rd）×HF2（t,T;Rd×d）被一个 BDSDE 所刻画。定理4.6.1.在假设（H4.6.1）下,一阶导数?μXt,x,Pξ和?μXt,x,Pξ（y）分别关于x和y都是L2-可导的。定理 4.7.1.令假设（H4.3.2）,（H4.6.1）,（H4.7.1）和（H4.7.2）成立。那么对所有的 t∈[0,T],x∈Rd,ξ∈L2（gt;Rd）,映射（?xYst,x,Pξ,?xZst,x,Pξ）∈SF2（t,T;Rd）×HF2（t,T;Rd×d）关于x可导,并且其导数（?xx2Yst,x,Pξ,?xx2Zst,x,Pξ）被一个BDSDE所刻画。定理 4.7.2.令假设（H4.3.2）,（H4.6.1）,（H4.7.1）和（H4.7.2）成立。那么对所有的t∈[0,T],x∈Rd,ξ∈L2（gt;Rd）,过程（?μYt,x,Pξ（y）,?μZt,x,Pξ（y））∈SF2（t,T;Rd）×HF2（t,T;Rd×d）关于y是L2-可导的,并且其导数（?y?μYst,x,Pξ（y）,?y?μZst,x,Pξ（y））被一个BDSDE所刻画。现在我们考虑值函数V（t,x,Pξ）:=Ytt,x,Pξ。根据上述结论,我们只能证明值函数在L2-意义下的正则性,故不能应用平均场It?公式（定理4.1.1）。因此,为了得到与值函数相关的非局部半线性倒向SPDE其中ψ（s,x,Pξ）:=（V（s,x,Pξ）,∑i=1d?xiV（s,x,Pξ）σi（x,Pξ））,我们引入了确定性函数Ψ（t,x,Pξ）:=E[V（t,x,Pξ）·η],对适当的η∈L∞（F;R）。对Ψ我们可以证明它是一个Cb1,2,2-函数,由此能够对Ψ（s,Xst,x,Pξ,PXst,ξ）应用平均场It?公式。这对于证明V是上述平均场倒向SPDE的唯一解是至关重要的。命题4.8.2.在假设（H4.3.2）,（H4.6.1）,（H4.7.1）和（H4.7.2）下,对所有满足假设（H4.8.1）的η∈L∞（F;R）,我们有Ψ∈Cb0,2,2,（[0,T]×Rd×P2（Rd））,并且对所有的φ∈{Ψ,?xΨ,?x2Ψ,?μΨ,?y（?μΨ）}成立|φ（t+q,x,Pξ,y）-φ（t,x,Pξ,y）≤（?）,0≤t≤t+q≤T,（x,Pξ,y）∈Rd×P2（Rd）×Rd,其中?μΨ（t,x,Pξ,y）=E[?μV（t,x,Pξ,y）·η],且常数Cη’∈R+依赖于η和Cη。最后我们给出本章的主要结论。定理 4.8.1.在假设（H4.3.2）,（H4.6.1）,（H4.7.1）和（H4.7.2）下,V∈C0,2,2（Ω×[0,T]×Rd×P2（Rd））是上述倒向 SPDE 的经典解,并且在 C0,2,2（Ω×[0,T]×Rd×P2（Rd））中是唯一的。