本文先后讨论了两类自由边界问题:热-扩散燃烧模型和高阶广义Cahn-Hilliard方程,并针对这两类问题进行稳定性分析和数值模拟。（Ⅰ）热-扩散燃烧模型:该模型描述了在二维带型区域R×（-l/2,l/2）中,零阶反应和分段温度动力机制的预混火焰热-扩散燃烧现象,模型表示为:我们针对自由边界的胞状不稳定情况（即Lewis数满足0
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本文先后讨论了两类自由边界问题:热-扩散燃烧模型和高阶广义Cahn-Hilliard方程,并针对这两类问题进行稳定性分析和数值模拟。（Ⅰ）热-扩散燃烧模型:该模型描述了在二维带型区域R×（-l/2,l/2）中,零阶反应和分段温度动力机制的预混火焰热-扩散燃烧现象,模型表示为:我们针对自由边界的胞状不稳定情况（即Lewis数满足0<Le<1）展开研究。为了解决该问题中两个自由界面（着火边界F（t,y）和跟踪边界G（t,y））造成的困难,我们将自由边界问题转化为一个完全非线性边值问题,进而得出研究火焰锋稳定性的一种新方法;通过采用离散Fourier变换,我们计算出了用来控制稳定性阈值Lec*的解析表达式,从而得出简便的稳定性判断法则:（1）当Lewis数满足关系Lec*<Le<1时,平面行波解是线性渐近稳定的;（2）当Lewis数满足关系0<Le<Lec*时,平面行波解是线性渐近不稳定的。同时可以看出,可取的Fourier模式数量的多少取决于带宽l的大小。最后,针对渐近不稳定情况（即0<Le<Lec*）,我们利用数值算例验证了稳定性分析结果,数值结果表明,在快速过渡期后,得到了着火界面和跟踪界面形成的“双峰”形式的火焰锋。（Ⅱ）高阶广义Cahn-Hilliard方程:该方程表示为:在Dirichlet边界条件下,我们进行了关于方程解的适定性和正则性的理论分析,证明了解算子的耗散性以及全局吸引子的存在性。针对该类方程在生物、医学等领域中的实际应用,我们对高阶晶体相场以及肿瘤细胞的增长情况进行了数值模拟,根据数值结果可以看出,高阶广义Cahn-Hilliard方程的高阶项能够有效控制各向异性特征;另外,针对高阶广义Cahn-Hilliard方程的双曲松弛形式:我们利用二阶精度的完全离散格式开展了数值实验,数值结果显示,该类方程的高阶项对于控制各向异性特征同样有效。
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