【摘 要】
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奇异摄动问题在很多领域都有着广泛的应用,例如流体动力学、天体力学、工程技术乃至金融模型等。由于奇异摄动问题存在很小的摄动参数,方程的真解会在边界层区域产生剧烈变化,使得经典的差分方法不能得到满意的结果,进而奇异摄动问题的数值解法成为热门的研究课题。因此本论文将研究使用层适应网格上的有限差分格式求解奇异摄动边值问题。第一部分在Shishkin网格上使用混合差分格式求解一维奇异摄动两点边值问题。借助截
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奇异摄动问题在很多领域都有着广泛的应用,例如流体动力学、天体力学、工程技术乃至金融模型等。由于奇异摄动问题存在很小的摄动参数,方程的真解会在边界层区域产生剧烈变化,使得经典的差分方法不能得到满意的结果,进而奇异摄动问题的数值解法成为热门的研究课题。因此本论文将研究使用层适应网格上的有限差分格式求解奇异摄动边值问题。第一部分在Shishkin网格上使用混合差分格式求解一维奇异摄动两点边值问题。借助截断误差、离散比较原理以及障碍函数等证明了其在[0,xP,N]上二阶收敛,在(XphN,1]上近二阶收敛,其中ph=1-1/(2e)≈0.8161。此方法也适用于中点迎风格式和简单迎风格式,均能够得到较好的误差估计式。数值算例验证了理论结果。第二部分在修正的Bakhvalov-Shishkin网格上建立新混合差分格式求解一维奇异摄动两点边值问题,得到了关于摄动参数一致的较好的收敛阶数。数值算例证实了理论结果,展现了此方法在实际求解精度上的优越性。第三部分在乘积型层适应网格上构造了求解二维奇异摄动问题的中点迎风格式和新混合差分格式,给出了截断误差估计式。数值算例证实了中点迎风格式和新混合差分格式的可行性,并得到与一维相对应的收敛阶数。
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