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拓扑（外尔或狄拉克）半金属是三维材料里的一类新的量子拓扑态，不同于三维拓扑绝缘体(TI)，其低能有效模型为Weyl/Dirac费米子，费米面上仅有孤立的点，投影到表面会出现费米弧。这个三维的两分量的Weyl费米子的有效哈密顿量形式为，Hw=v(σ)·(k)，其中(σ)是泡利矩阵，(k)为晶体动量，其中的各个方向的费米速度v给出了两类不同手征（左旋或右旋）的Weyl费米子。在三维动量空间中，Weyl费米子由于不能再引入其他的质量项，是可以稳定存在的拓扑态，可以被有效的看成动量空间的磁单极子。为了得到Weyl半金属，时间反演对称性(TR)或者中心反演对称需要被破坏。然而，对于时间反演不变的体系，我们就期望出现三维的Dirac半金属，其有效哈密顿量为四分量形式，HD=(v(σ)·(k)00-v(σ)·(k))，它可以被简单的看成两不同手征的Weyl费米子稳定的重合在了同一个动量k点。一般来说，Dirac半金属要稳定存在，就必须有其他的对称性来保护。在本文中，我们主要讨论Weyl半金属和Dirac半金属材料及其相关的新奇量子现象。 首先，我们介绍了常用的数值计算和理论分析方法，包括:基于密度泛函理论的第一性原理方法，近年发展比较迅速的Wannier函数方法和非常有效的k·p模型分析方法。本文的工作都是利用第一性原理计算和模型分析方法开展的。 其次，我们预言了铁磁的尖晶石材料HgCr2Se4是三维的Weyl半金属。在HgCr2Se4材料中，只有自旋取向跟磁化方向一致的那一半能带形成了反带结构，从而导致在该体系的能带在沿Z轴的两个互为反演的点上形成Weyl费米子的特殊结构，Weyl费米子是Dirac费米子的一半，是拓扑上的稳定结构。在空间维度是三维的情况下，任何保持平移对称的微扰项都不能使得能隙打开，而只能使交叉点在k空间内移动。Weyl费米子体系的特殊拓扑结构可以通过研究有效Chern数随着z方向动量演化来很好地刻画，而在其侧表面上形成费米弧，即不连续的费米面。同时，如果把材料制成有限厚度的量子阱，可以实现量子化的反常霍尔效应。 最后，我们又先后预言了两类三维Dirac半金属，Na3Bi(K3Bi，Rb3Bi)材料和Cd3As2材料。研究表明，Dirac点受到晶体对称性保护而可以稳定存在。Dirac半金属态处于拓扑相临界区，可以通过对称性破缺诱导其进入不同的拓扑相（拓扑绝缘体，Weyl半金属等），同时应该有大的线性量子磁阻和比较奇特的输运性质。另外，在其量子阱结构中会出现量子自旋霍尔效应。在其掺杂等引入费米面的情况下，我们期望可能出现非常有趣的拓扑超导现象。