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基于如下的工作[Bau7,Be12,Cis,Dus1,Fra,Her1,Ke12,Lei10,May3,Nee1],我们计划研究高维范畴的三角化结构,并揭示隐含在三角化范畴中的高维范畴结构。在三角化范畴中最基本的公理是八面体公理。然而它的最适当的形状是一个由特异三角形构成的辫子[Ada,Ive1,May3]。Beligiannis在[Be12]中给出八面体公理的两种等价形式:基变换和余基变换公理。Neeman[Nee1]利用映射锥构造给出八面体公理的等价定理。基于T-spans的Kleisli双范畴SpanT(()),它是通常spans的双范畴Span(())的推广,Hermida和Leinster[Her1,Lei10]将T-多重范畴定义为SpanT(())中的monads。
通过范畴,双范畴及“高维”范畴和广群[Dus1,Dus2,Dus3,Dus4,Gro1,Str2]的几何神经我们发现八面体公理可以看作是由两个可以复合的态射(即1—horn)生成或余生成的辫子,等价地,这个辫子也可以看作是由span(即0-horn)生成及cospan(即2-horn)余生成的。利用几何神经,我们给出了三角化范畴及三角化轨道范畴的单纯描述(命题2.2.1和3.2.1)。实际上,Beligiannis的公理是说双范畴Span(())和Cospan(())的任意1-胞腔可以分别扩展为一个交换图,其中所有水平线及垂直线上的图都是特异三角形。从而利用双范畴Span(())和Cospan(())我们分别给出了cartesian范畴和cocartesian范畴的三角化结构(命题2.1.6)。类似地,由双范畴SpanT(())和Cospans(())我们得到三角化cartesian monad((),T)和三角化cocartesian comonad((),S)(定义4.2.2)。
三角化对称张量范畴在代数几何,拓扑,主题理论,KK-理论等领域中有重要的应用。在1阶情形May[May3]研究了张量积与八面体公理(即4-八面体)的相容问题。进而Keller和Neeman[Ke12]对1阶情形提出无穷多新的公理。他们同时指出存在连续的阶0,1,2,…。Balteanu等在[Bait]中发展了n-重张量范畴的概念,而对称张量范畴是一个n-重张量范畴(对所有n)。利用范畴的几何神经我们给出对称张量范畴和三角化结构相容性的一些新结果(定理2.3.7,命题2.3.2,2.3.4,2.3.8,2.3.9,2.3.11和2.3.12),并讨论了三角化n-重张量范畴,给出了关于广义对偶DE(X)的辫对偶公理。Nicas在[Nic]中引入了广义对偶DE(X)=HomR(X,E),其中X和E分别是闭对称张量模型范畴()中单胚R上的左R-模和R-R双模。利用((),R,E)上的迹结构概念和()中对象X关于给定迹结构的迹型概念,我们定义了Nicas型的迹并讨论了类似于欧拉特征和广义迹映射的加性定理(定义2.5.22和定理2.5.23)。
Baues和Muro在[Bau7]中基于轨道范畴(即广群-浓缩范畴)给出三角化范畴的一个基础。他们断言任何一个三角化范畴都可由一个三角化轨道范畴导出。他们同时指出三角化轨道范畴()的同伦范畴()的平移上同调的一个示性上同调类()(∈H3((),t))给出()的一个三角化结构。利用Baues和Muro的思想我们给出T-spans的双范畴SpanT(())的三角化结构(定义4.2.1)。Neeman[Nee1]暗示了三范畴的modifications(即3-胞腔)决定了映射锥公理而该公理与八面体公理是等价的。从而我们得到结论:三角化范畴是一个有“好”的胞腔的三范畴(命题3.4.6)；而“高阶”三角化范畴是一个有“好”的胞腔的ω-范畴(定义3.4.7)。类似于映射锥公理我们还得到定理3.4.8。Beligiannis和Reiten在[Be14,Be16]中研究了virtually Gorcnstein代数和virtually Goren-stein Nakayama范畴。一个小范畴()可以看作是双范畴Span(Set)中的一个monad。利用三角化范畴的相对于一个特异三角形的真类()的相对同调代数[Be12],我们得到三角化范畴为双范畴Span(Set)中的一个()-virtually Gorenstein monad。利用[Bau8,Be12]中的思想我们讨论了二阶导出范畴和三角化轨道范畴中的二阶相对同调代数(§3.5和§3.6)。
T-operads是仅有一个对象的T-多重范畴,正如向量空间对线性代数或层对代数几何那样,它们提供了研究高维范畴理论的适当的语言。T-多重范畴可表为一个适当的由T-spans构的Kleisli双范畴SpanT(())中的monads[Her1,Lei10]。我们给出广义internal范畴的概念(定义4.1.6),而T-多重范畴可归结为广义internal范畴。我们讨论了((),T)-多重范畴的范畴((),T)-Multicat,((),T)-结构范畴的范畴((),T)-Struc,和C-代数的范畴Alg(C)(C是一个T-多重范畴)的三角化结构(定义4.8.9,4.3.3,4.2.4)。Grothendieck等[Gro2,Cis,Fra]发展了三角化范畴的改进形式,即三角化derivators,它们是定义在2-范畴Cat的全子2-范畴Diag上而取值于TriCAT(由三角化范畴构成的2-范畴)的反变2-函子。因为Cat可以看作是由带恒等monad的小范畴构成的2-范畴,从而当考虑由cartesianmonads((),T)构成的2-范畴CartMndlax的全子2-范畴Diag时,我们有关于范畴()T,((),T)-Struc,((),T)-Multicat,和Alg(C)的三角化derivators或coderivators。