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以橡胶、类橡胶和许多生物软组织为代表的超弹性材料,因其具有高弹性、回弹性等特点,在航空航天、工程设计、工业建筑、医疗卫生以及生物力学等领域具有广泛应用。而由超弹性材料组成圆柱形和球形结构是现实生活和工业生产中较为常见的结构,例如,建筑设计和航空航天飞行器中的橡胶垫圈和橡胶圆杆,用于液体或气体传输的橡胶圆管,临床医学介入中的球形橡胶导管以及血管等生物软组织等等。正是由于其独特的性质和广泛的应用背景,基于超弹性本构关系的材料组成圆柱形和球形结构的变形、失稳以及振动问题一直是国内外专家和学者关注的焦点。本文利用非线性弹性力学中的有限变形理论,稳定性理论以及动力学理论,研究了由超弹性材料组成的圆柱壳和球壳的翻转有限变形问题,翻转预应力状态下圆柱壳的稳定性问题以及圆柱形和球形薄膜的非线性径向振动问题,得到了一些重要结论。具体内容如下:1)研究了几类超弹性材料组成的圆柱壳的翻转有限变形问题。将数学模型归结为一类非线性微分方程的边值问题。对于不可压缩材料,利用不可压缩约束,采用半逆解法求得问题的隐式解析解。对于可压缩材料,首先采用一类特殊的调和材料模型,利用传统解析解法得到了该问题的精确解;其次考虑一般类型的可压缩材料模型,由于此时传统的解析和数值解法均不适用,故提出改进打靶法,得到了该问题的数值解。通过与解析结果相对比,证明了改进打靶法的有效性。结果表明:初始厚度和材料参数是影响超弹性圆柱壳翻转后伸长或压缩的主要因素,并且翻转后圆柱壳内部会产生应力。2)为了更加全面地揭示轴对称结构翻转变形的力学机理,研究了几类超弹性材料组成的球壳的翻转有限变形。由于结构不同,所建立的数学模型略有不同。沿用对圆柱壳翻转问题的研究方法,考虑了更为复杂的应变能函数模型,得到了相应球壳翻转问题的解析解和数值解,说明改进打靶法对于求解可压缩轴对称结构翻转问题是适用的。通过圆柱壳和球壳相应结论的对比,发现对于各向同性材料,圆柱壳或球壳越薄,翻转后内半径越大,圆柱壳和球壳变形后的应力分布基本一致。而材料参数对圆柱壳翻转后轴向伸长率的影响显著,各向异性参数对球壳翻转后内半径的影响显著。3)研究了不可压缩超弹性材料组成的圆柱壳翻转后轴向受压时的稳定性问题。利用大变形叠加小变形理论,建立了关于增量位移分量的非线性偏微分方程和边界条件,得到了由Bessel函数表示的近似解析解和失稳控制方程组。通过数值模拟,得到了圆柱壳初始厚度和初始外半径与长度比对临界控制参数的影响,并给出了失稳临界态圆柱壳内、外表面的有限变形。结果表明:无论圆柱壳翻转与否,圆柱壳越薄或越粗,越容易发生失稳,并且更容易发生高模态数失稳;翻转后的圆柱壳比未翻转的圆柱壳受轴压后更容易发生失稳。4)研究了不可压缩超弹性材料组成的圆柱形和球形薄膜内部受到三种不同载荷形式作用下的非线性振动问题。利用渐进展开,得到了近似描述薄膜振动的二阶非线性常微分方程和初、边值条件。通过定性分析和数值模拟,讨论了影响圆柱形和球形薄膜振动的因素。结果表明:在常载荷作用下,薄膜随时间做非线性周期振动。此时,相图是光滑的封闭曲线,且当载荷达到某一临界值时会出现非对称“∞”型同宿轨线;在周期阶梯载荷和周期载荷作用下,薄膜随时间做非线性非周期振动,其相图不再是光滑的闭曲线。