【摘 要】
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目前,在科学技术和自然领域中,仍然存在着大量亟待解决的非线性问题。逼近问题中的参数形式一般是各种形式的参数,但是由于非线性问题非常普遍,就很难归结为一般的理论,这些非线性问题现在依然是科学技术领域研究的重点。作为计算科学中最有力的数值算法之一,插值法在非线性问题的解决中起到了至关重要作用。它的目的是构造出一个有连续定义的新函数,使新的函数与被插值的函数在给定点的值上完全一致。其中,多项式插值是最先
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目前,在科学技术和自然领域中,仍然存在着大量亟待解决的非线性问题。逼近问题中的参数形式一般是各种形式的参数,但是由于非线性问题非常普遍,就很难归结为一般的理论,这些非线性问题现在依然是科学技术领域研究的重点。作为计算科学中最有力的数值算法之一,插值法在非线性问题的解决中起到了至关重要作用。它的目的是构造出一个有连续定义的新函数,使新的函数与被插值的函数在给定点的值上完全一致。其中,多项式插值是最先被提出的插值方法,被广泛应用于在方程,微分积分方程数值等求解的过程中,它的优点是形式简单,便于计算,是插值逼近算法的基础形式。但是高次的多项式插值存在着震荡现象,具有看局限性,因此对于有理插值的研究就成为了解决非线性问题的重点。有理插值算法虽然在形式上比多项式插值复杂很多,但是近视精度更高,在逼近的速度上具有明显的优势。有理函数插值因有着灵活性好和逼近精度高等优点,成为目前非线性问题解决方法的研究热点之一,并被广泛应用于近似逼近和科学研究等方面。构造有理插值函数的方式有多种,连分式插值算法作为有理插值的尤为重要一员,一直是不可或缺的角色。连分式插值本身具有较强的递推性,便于计算有理函数插值中需要的系数。本文以前人研究的连分式插值方法理论为基础,结合当下研究现状,对连分式插值方法及其扩展算法进行了深度研究,内容主要包括三大模块:预给极点的二元向量分叉连分式算法,预给极点的二元向量连分式插值算法,以及保渐近线的扩展连分式插值算法等等。现将本文中的主要研究内容归纳如下三个部分:第一部分主要是在连分式插值算法的一般理论基础上,延伸出预给极点的向量连分式插值,通过给定插值点阵的极点信息,对点阵进行行和列的初等变换,计算出相应的元素代替,构造出新的分叉连分式,并且给出数值例子,说明新方法的有效性。第二部分通过在散乱点集上构造出二元系数算法,使之具有具有继承性,构造出了连分式插值的二元向量形式,给出了一种预给极点的二元向量连分式插值算法。根据给定的被插值函数的极点信息,构造出插值函数分母多项式中的一个因式,然后通过对原有的每个插值节点的向量值都乘以一个固定的数的方法,使其构造成一个无预给极点的二元向量插值问题,再通过向量的Samelson逆构造出一个二元非张量积型向量连分式插值,再除以这一确定的函数,最后就得到了一个预给极点的二元向量连分式插值。此方法具有预给极点而且原本的重数保持不变。第三部分通过给出三项递推公式和特征定理,从而推导出分子、分母的次数和有理函数各阶间的递推关系,通过给定的具有水平渐近线或斜渐近线的函数,给出一种保渐近线的扩展连分式算法,使给出的连分式插值更加准确,趋于渐近线。方法是通过在原节点数的基础上再加一个函数节点,利用渐近线所得出的极限,计算出节点的函数值,则能使给出的这个插值节点更加准确,利用这个新的插值节点及原有的函数节点构造出一个新的连分式插值函数,从而能够很好地逼近渐近线。通过数值例子分析传统连分式插值和新的连分式插值两类算法的逼近效果,将它们的误差进行对比,说明了扩展保渐近线的连分式算法的有效性。图[10]表[6]参[48]
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