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在许多科学和工程应用中,例如计算流体动力学,椭圆型方程的混合有限元,带约束最优化以及带约束最小二乘问题等,经过差分法离散化最后都可以归结为大型稀疏矩阵的线性方程组求解问题,即鞍点问题的求解。提高其计算的可靠性、有效性和精确性是该领域的一个主要研究内容。根据已有知识,若通过适当构造迭代矩阵使其谱半径小于1,则迭代方法收敛,数值结果能有效逼近精确解，并且谱半径越小,收敛速度越快,计算运行时间越短,算法也就越优越。在用差分法离散化求解鞍点问题中,在迭代矩阵中添加适当的参数,通过控制参数的取值来讨论谱半径较小时与参数之间满足的关系是重要的研究课题。
最近几年,用HSS法(Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Method)求解线性方程组有了较大发展,MHSS法(Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Method)、LHSS法(Local Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Method)和MLHSS法(ModifiedLocal Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Method)等在HSS基础上做了改进,文献[1]-[10]是近几年来以白中治教授为首的许多学者以HSS法为基础求解鞍点问题而得到的理论。本文在这些成果的基础上,提出了求解广义鞍点问题的GLHSS(Generalized Local Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Method),改进了一些相关的结论,并且进一步证明了当参数满足一定条件时,GLHSS法是收敛的。最后给出数值算例,验证了方法的正确有效性。
本文的内容结构如下:
第一部分是引言。介绍线性代数方程组和迭代法发展现状,提出鞍点问题及广义鞍点问题的差分解法。
第二部分是预备知识。这部分为之后内容做准备,主要给出了一些重要的定义和结论,例如Hermitian矩阵,反Hermitian矩阵等。
第三部分是已有相关结论。这一部分主要是介绍以白中治为首的学者在HSS法基础上求解鞍点问题所做的一些工作,已得到的一些重要结论,从而推出求解广义鞍点问题的构造思路。
第四部分是GLHSS方法的收敛性。在这一部分中,我将LHSS法求解鞍点问题的思路带入到求解广义鞍点问题中,得到GLHSS法的应用并证明了GLHSS法的收敛性,同时给出了当参数满足一定条件时迭代矩阵的谱半径较小,迭代法收敛速度较快。
第五部分是数值算例。利用GLHSS法处理广义鞍点问题离散化后的线性方程组,数形结合地给出当参数满足一定条件时,GLHSS法的迭代矩阵谱半径小于1,迭代法收敛。
第六部分是小结与前景展望。这一部分是对文章的主要思想、方法和本文得到的主要结论做一总结,并对GLHSS法的前景做出展望。