【摘 要】
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本文主要利用KAM理论研究几种带有小参数的近常拟周期线性实系统的约化问题。在没有非退化条件的假设下,我们分别研究了光滑依赖于小参数的二维和三维拟周期系统的可约化性,以及解析依赖于小参数的三维拟周期系统的可约化性。此外我们还用KAM理论研究了在较弱非退化条件下圆环面上保积映射的不变曲线的存在性。本文共有七章组成,每章的内容如下:第一章简要介绍了哈密顿系统的背景知识,并介绍了 KAM理论的经典结果和思
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本文主要利用KAM理论研究几种带有小参数的近常拟周期线性实系统的约化问题。在没有非退化条件的假设下,我们分别研究了光滑依赖于小参数的二维和三维拟周期系统的可约化性,以及解析依赖于小参数的三维拟周期系统的可约化性。此外我们还用KAM理论研究了在较弱非退化条件下圆环面上保积映射的不变曲线的存在性。本文共有七章组成,每章的内容如下:第一章简要介绍了哈密顿系统的背景知识,并介绍了 KAM理论的经典结果和思想。此外我们还介绍了拟周期系统可约化性问题的研究背景和进展。最后简要叙述了本文的主要工作,并阐述了创新点。在第二章中,我们研究了如下带有小参数的二维线性拟周期哈密顿系统其中A是一个二阶的实哈密顿矩阵,∈是一个小参数,矩阵Q关于t是解析拟周期的,关于∈是m次光滑可导的。如果基本频率和A的特征值满足某些非共振条件,在没有关于小参数的非退化条件的假设下,我们证明了如下结论:（1）当m=1时,存在一个充分小的∈0>0和一个有正勒贝格测度的子集E（?）（0,∈0）,使对所有的∈∈E,系统都是可约化的;（2）当m=0时,存在一个充分小的∈0>0和一个有连续统基数的子集E（?）（0,∈0）,使对所有的∈∈E,系统都是可约化的。在第三章中,我们把第二章的结论推广到如下的三维反对称系统:其中A是一个反对称的常数矩阵,Q是一个反对称矩阵,关于t是解析拟周期的,关于∈是m次光滑可导的。如果基本频率和A的特征值满足某些非共振条件,在没有关于小参数的非退化条件的假设下,我们证明了系统（0.1）对于许多充分小的参数是可约化的。在第四章中,我们研究如下的三维系统:其中A是实的三阶常数矩阵,有一对复特征值ξ±iβ和一个实特征值ζ,并且满足ξ≠ζ,β≠0.矩阵Q关于t是实解析拟周期的,关于小参数∈是解析的。如果基本频率和A的特征值满足某些非共振条件,在没有关于小参数的非退化条件的假设下,我们证明了对于在勒贝格测度意义下的大多数充分小的参数,系统（0.2）是可约化的。在第五章中,我们仍然研究三维系统（0.2）,其中A是实的三阶常数矩阵,有一对复特征值ξ±iβ和一个实特征值ζ,并且满足β≠0.矩阵Q关于t是实解析拟周期的,关于小参数∈是m次光滑可导的。我们证明了如果基本频率和A的特征值满足某些非共振条件,则在没有非退化条件的假设下,对于许多充分小的参数,系统（0.2）是可约化的。在第六章中,我们考虑了如下保积映射:其中函数f和g关于（x,y）在T×[a,b]上实解析,关于参数ξ是m次光滑可导的,并且g关于x的平均为0.在没有非退化条件的假设下,我们首先证明了映射（0.3）的一个形式KAM定理。然后利用这个形式KAM定理证明了在经典的非退化条件下的KAM型结论。此外还证明了在更弱的非退化条件下的KAM型结果。在第七章,我们对未来研究进行了展望,并给出了研究计划。
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