论文部分内容阅读
本文分为五部分：之一是将廖山涛先生的关于准双曲轨道的跟踪引理实现到具有极限控制分解的C1非一致双曲系统的几乎处处的轨道上；之二是在控制分解的条件下得到了Pesin熵公式，并由此得到C1保体积微分同胚中满足Pesin熵公式的系统是通有的，即保体积微分同胚中有一个剩余集都满足Pesin熵公式；之三是给出了一个如何从周期点的非一致双曲性得到系统全局的一致双曲性的判定方法；之四是给出了非一致双曲测度的测度熵的一种自然刻画：测度熵等于逼近此测度的周期点个数的指数增长率。之五是对generic微分同胚的非平凡的孤立传递不变集人，证明支撑在它上的所有不变测度形成的空间恰好可以用沿某轨道点测度平均得到的极限测度构成的集合来刻画，并证明Λ中完全零测度的正向非正则点集上的非一致双曲性可以决定Λ的一致双曲性。
具体的讲，第一，对一个C1微分同胚，我们构造了新的Pesin块和Pesin集（定义1.1）.所有的Pesin块有统一的平均双曲的degree（定义2.8）并且首尾在同一个Pesin块里充分长的轨道弧都具有同type的准双曲性（定义2.10）.我们还引进了一个比控制分解弱的概念，称为极限控制分解（定义1.5）.对于C1微分同胚，如果它保持一个双曲遍历测度μ并具有极限控制分解，那么我们证明存在μ满测度的Pesin集并且可以在Pesin块上实现封闭引理和伪轨跟踪，类似于Katok在C1+α（0<α<1）情形下的封闭引理和伪轨跟踪.伪轨跟踪能使我们得到很多曾在经典Pesin理论实现过的性质。这里我们仅举一个典型例子，证明存在一个μ全测度的集合，支撑在此集合上的所有不变测度都可以由周期测度来逼近（命题1.10）.第二，设f：M→M是紧流形M上的一个C1微分同胚.如果μ是一个绝对连续于Lebesgue测度的f-不变测度并假设μα.e.χ∈M，都在其轨道orb（χ）上有控制分解Torb（χ）M=E⊕F，那么我们用Lyapunov指数从下方给出Pesin熵公式的一个估计，即，测度熵hμ（f）满足hμ（f）≥∫x(x)dμ其中χ（x）=∑dim F(x) i=1λi(x),λ1(x)≥λ2(x)≥…≥λdim M(x)是x点处的Lyapunov指数。进而利用generic保体积微分同胚的一个二分性质，我们证明Pesin熵公式对generic的保体积微分同胚都成立，将Tahzibi[62]的二维结果推广到了任意维.第三，对C1+r（γ>0）微分同胚的一个双曲遍历测度μ，对应的测度逼近μ且Lyapunov指数也逼近μ的Lyapunov指数的周期点集的基数指数增长率等于μ的测度熵hμ（f）（定理C）.进一步，这个等式对μa.e.的点都成立（定理C）.第四，我们证明对C1 generic微分同胚的一个孤立不变集Λ，如果Λ里的周期点集满足非一致双曲条件（称为L-NUH条件，参见定义1.16），那么Λ是双曲集.平行地，我们证明对一个给定的C1微分同胚和一个紧不变集，如果它满足Katok的周期封闭引理并且周期点集上满足非一致双曲条件，那么这个不变集是双曲集。此结果可看做是[15]（C2情形并具有周期封闭引理）的一个推广.第五，设Λ是C1 generic微分同胚f∈Diff（M）的一个非平凡的孤立传递不变集.我们证明支撑在Λ上的所有不变测度形成的空间恰好可以用沿某轨道点测度平均得到的极限测度构成的集合来刻画。另外，这种轨道形成的集合在Λ中构成剩余集（这也意味着正向非正则点集也在Λ中构成剩余集）。作为应用，我们证明Λ中完全零测的正向非正则点集上（或者它的generic集上）的非一致双曲性可以决定Λ人的一致双曲性。
本文具体安排如下：在第一章中，我们将回顾动力系统中的一些基本概念和结果，由此阐述本文研究的背景和目的，进而陈述本文的主要结果。在第二章中，我们对极限控制分解和新的Pesin集进行详细讨论，并通过Liao的周期封闭引理及其推广的伪轨跟踪引理实现了新Pesin集上的伪轨跟踪。特别地，对具有极限控制分解的双曲遍历测度，证明了全测的Pesin集的存在并且在此基础上推广了Hirayama关于周期测度在不变测度里稠的结果。在第三章中，基于Mané[38]对C1+α情形下关于Pesin熵公式的独创证明，我们根据这一思想将其推广到具有控制分解的C1系统上。并在此基础上结合[5]的结果，证明generic保体积微分同胚满足Pesin熵公式。在第四章中，我们利用Katok的周期封闭引理，证明双曲测度熵可以自然地刻画为逼近该测度的周期测度个数的指数增长率。在第五章中，我们给出了一个判定一致双曲的充分条件，并利用它证明如何从周期点集上的非一致双曲性得到全局的一致双曲性。在第六章中，利用generic微分同胚孤立传递集里周期点集上满足Barycenter性质，证明不变测度空间可以由一个点沿轨道平均生成。进而利用曹永罗的一个双曲集的判定方法来证明具有上述性质的点的非一致双曲性可以决定全局的一致双曲。