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Hilbert不等式(包括重级数型和重积分型)是分析学中的重要不等式。近二十多年来，它一直受到许多学者的关注。涌现出许多的改进、推广和应用。本文将利用不同的方法对Hilbert型不等式作出改进，并给出了它们的若干应用。全文组织如下：
第一章：介绍全文的研究目的、背景、方法和结果。
第二章：通过引入一个形如熹√x/1+√x(x≥0)的函数，用胡克教授的升幂方法建立了Hilbert不等式的一个改进。并且给出了权函数的具体表达式。作为应用，得到了Hardy—Littlewood不等式和Widder定理的一些新的结果。
第三章：利用Gram矩阵的正定性和内积空间理论的知识，通过引入单位可变向量建立了Cauchy不等式的一个改进。进一步再利用分析方法的技巧，得到了H(o)lder不等式的一个新的结果。据此，创建了Hardy—Hilbert不等式的一个改进，并且用Euler—Maclaurin求和公式对权函数进行精估，特别当p=2时，得到了Hilbert不等式(包括重级数型和重积分型)的一个新的的结果。
第四章：通过引入参数λ(1—q/p＜λ≤2，p≥q＞1)及两个非负且在(0，+∞)递增的可微函数u(x)和v(x)建立了一种广义带权的Hardy—Hilbert积分不等式。特别，当p=2时，得到经典Hilbert积分不等式的各种推广。作为应用，当u(x)和v(x)是幂函数、指数函数和对数函数时，建立了若干新的不等式。
第五章：分别研究级数型和积分型不等式。在Hilbert重级数型不等式中，通过引入一个适当的对数函数的幂建立了一种新的Hilbert重级数型不等式。利用Euler—Maclaurin求和公式对权函数进行了估计，证明了常数因子π2r+1Er(r∈N)的最佳性，其中Er是Euler数。作为应用，给出了一些互相等价的不等式。在Hilbert积分型不等式中。通过引入参数和对数积分核函数建立了一种新的Hilbert积分型不等式，证明了用Euler数和π来表示的常数因子是最佳的，利用所得到的若干特殊结果给出了经典的Hilbert积分不等式的推广。作为应用，建立了一些互相等价的不等式。