光滑型的Bishop-Phelps-Bollobás定理

• 作 者: 沈思思
• 出 处: 厦门大学
• 发表日期: 2004年期
• 关键词: 光滑BP定理 球相对光滑 Banach空间

著名的Bishop-Phelps定理([34])是说每个Banach空间上的范数可达线性泛函在其对偶空间中总是稠密的.以这一定理为出发点发展起来的变分原理(例如Ekeland变分原理([16,18])等)及其应用,已经成为许多现代数学与应用数学分支的基石.50多年来,它的各种形式的定量化表述也成为一个新的数学研究领域.然而,在“光滑”情形下的更加精准的论述却没能引起应有的关注.对此,本文引入了“球相对光滑”的概念,并证明了包括所有可分Banach空间在内的一类Banach空间上总成立如下形式的光滑型量化的Bishop-Phelps-Bollobás定理:设X为一 Banach空间,其共轭空间X*上存在一个严格凸的共轭范数,ε>0,x0 ∈Sx,xo*∈Sx*,满足〈xO*,x0〉>1—ε2/4,则存在χε ∈ sx,xε*∈Sx*,使得〈xε*,xε〉 = 1,||xε + x0|| ≤ ε,||xε*－x0*|| ＜ ε.其中xε是球相对光滑点,xε*是范数在该点处的球相对Gateaux导数.同时,我们也给出了强光滑型的Bishop-Phelps-Bollobás定理:设X是可分Banach空间,且其对偶空间X*也是可分空间,ε>0,x0∈Sx,X0*∈Sx*,满足〈x0*,x0〉>1 －ε2/4,则存在xε ∈Sx,Xε*∈ Sx*,使得〈xε*,xε〉 = 1,||xε + x0|| ≤ ε,||xε*－ x0*||≤ ε.其中χε是球相对强光滑点,xε*是范数在该点处的球相对Frechet导数.