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本文致力于与Grushin算子相关的等周不等式、特征集和迹定理的研究。介绍了Grushin算子的一些基本概念以及结论，给出本文所研究问题的研究背景及进展。借助变分法和Steiner对称的思想讨论了Grushin平面上的等周不等式，并给出了等周集和它的最佳常数；进一步通过探索Grushin球与等周问题解的关系，推导出欧氏空间中Brunn-Minkowski不等式在Grushin平面上的自然推广是不成立的。讨论了与Grushin算子相关的特征集，给出了一类Grushin亚椭圆算子相应于Grushin平面上余维数为1的子流形的特征集在对应Grushin度量下的精确Hausdorff维数和Hausdorff测度。利用Grushin平面上迹不等式的研究方法，对局部不满足H(o)rmander有限秩条件的Grushin算子，通过精确估计建立了多维Grushin向量场中边界曲面上一类非特征迹不等式。