论文部分内容阅读
素数的分布是数论中一个非常古老的问题，公元前三世纪欧几里得用初等方法证明了素数有无穷多个.Dirichlet在研究算术级数中素数的分布问题时，引入了L-函数和Dirichlet密度的概念.Dirichlet密度是指满足某种性质的素理想的L-函数和对数函数-log(s-1）之比的极限.利用Dirichlet密度的概念，Dirichlet证明了在不加限制的情况下素数在算术级数中均匀分布，从而算术级数包含无穷多个素数.利用环类域理论和(C)ebotarev密度定理可以计算出由二次型表示的素数的密度.可以进一步考虑，如果素数是由二次型表示的，那么在算术级数中如何分布.本文主要研究能被某些特殊的二次型表示的素数在公差为素数p的算术级数中的分布，计算出了相应的Dirichlet密度，发现也均匀的分布，同时给出了一个在Vandiver猜想方面的应用. 我们在第一章介绍了由二次型表示素数的一些预备知识，给出了一些基本概念，二次型，虚二次域的格，类群和类数，环类域，Dirichlet密度等.我们建立了二次型的类群和相应的虚二次域的格的类群的同构，并找到了它们的类数的计算公式.利用类域论的理论我们建立了环类域，讨论了相应的性质，最后给出了由二次型表示的素数的Dirichlet密度的计算公式. 第二章我们主要讨论由某些特殊的二次型表示的素数在算术级数中的分布.首先我们考虑形如q=x2+ p2n+1y2方程，将q限制在公差为p的算术级数中，我们利用环类域理论和(C)ebotarev密度定理计算出了相应的Dirichlet密度.接着我们考虑形如4q=x2+p2n+1y2的方程，我们同样利用环类域理论计算出了相应的Dirichlet密度，同时也将q限制在公差为p的算术级数中，利用环类域理论和(C)ebotarev密度定理计算出了相应的Dirichlet密度.根据密度计算的结果，我们发现方程4q=x2+p2n+1y2在一定条件下，没有奇数解.最后我们将方程推广为qh=x2+p2n+1y2和4qh=x2+ p2n+1y2，其中h是虚二次域Q（√-p）的类数，计算出了相应的Dirichlet密度. 第三章我们给出了第二章计算出来的密度的一个应用.Vandiver猜想指出Q（ζp+ζp-1）的理想类群的p部分平凡.利用Thaine的结果我们可以把其中的一个分量e(p+1)/2(A)不平凡归结为一个具有特殊整除性质的二次型，而利用第二章计算出来的二次型的密度我们可以证明这样的二次型不存在，从而证明了分量e(p+1)/2(A)是平凡的.