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本文研究了Rn(n≥2)上旋转对称的黎曼度量，并发现了平面与更高维欧氏空间的一个区别.主要证明了定理2：Rn(n≥3)上不存在旋转对称的曲率有界且体积有限的完备黎曼度量(R2上存在旋转对称的曲率有界体积有限的完备黎曼度量)。首先，我们分别在旋转对称度量的直角坐标和极坐标表示下计算截面曲率，主要用到的计算工具是结构方程，在极坐标系下计算截面曲率时，充分利用了单位球面Sn-1在标准度量dΘ2下的黎曼曲率张量的已知结果，其次通过使用Hopf-Rinow定理，找到一点p∈Rn(这里我们取p为原点)使得指数映照expp在TpRn上处处有定义.这等价于每一条过原点的射线是测地线.最后通过体积形式分别求得了旋转对称度量在两种坐标下的体积，为了便于讨论，其中直角坐标系下的体积将转化到极坐标下的体积。这样Rn(n≥3)上旋转对称的曲率有界且体积有限的完备黎曼度量不存在转化为证明一个不等式系统无解，根据数学分析的知识，这个不等式系统部分方程不能相容，从而证明了定理2。更进一步，我们证明了Rn(n≥3)上旋转对称的完备度量，如果截面曲率有界，则其体积至少是线性增长，并且具体的构造了使体积按线性增长的例子。在论文的最后我们提出了可供进一步研究的两个问题，