Kirchhoff型椭圆方程正解和变号解的研究

• 作 者: 钟晓静
• 机 构: 西南大学
• 出 处: 西南大学
• 发表日期: 2017年01期
• 关键词: 椭圆方程 方程正解 约束变分 Nehari流形

本研究运用约束变分法和一些分析技巧研究了Kirchhoff型椭圆方程基态解的存在性和正解的多重性；变号解、基态变号解的存在性及渐近行为。首先，研究了如下有界区域上带临界指数的Kirchhoff型问题。其中Ω? R3是一个具有光滑边界的有界区域，b＞0,λ＞λ1,λ1是算子-△在Dirichlet边界条件下的第一特征值.由2*=6为 S o b o l e v临界指数可知，非线性项|u|4u达到临界增长.利用Nehari流形方法和Brézis-Lieb引理得到了当λ位于λ1的一个小的右邻域时正解的存在性和多重性。其次，研究了如下R3上具有零质量且带临界指数的Kirchhoff型问题。其中b是一个正常数，λ＞-λ1,-λ1为特征值问题-△u=λf(x)u, u∈D1-2(R3)的第一特征值，D1-2(R3)={u∈L2*(R3):▽u E L2(R3)}, f为非零非负函数.利用 Nehari流形方法和集中紧性引理获得了两个正解，其中一个是基态解。再次，研究如下R N上带不定非线性项的Kirchhoff型问题。其中 a＞0, b＞0, N＜3,λ＞ aλ1,λ1为特征值问题-△u+ u=λf(λ)u, u∈ H1(RN)的第一特征值，权函数f非负非零，g变号.利用Weierstrass定理和Nehari流形方法得到b＜ b。及 b＞ bo(bo＞0)两种情况下，基态解的存在性及正解的多重性。研究了下面的RN上带不定非线性项的Kirchhoff型方程。其中a, b均为正常数，N≤3,1＜ r＜2,4＜ s＜2*=2N/N-2,λ＞0,权函数f非负非零，g变号.利用Nehari流形方法获得了基态解的存在性和正解的多重性。最后，研究了如下Kirchhoff型问题变号解的存在性及不存在性。其中Q c R3是一个具有光滑边界的有界区域，a, b＞0,λ＜ aλ1.利用变号的Nehari流形方法和一些分析技巧，不仅证明了0＜ b＜∧(∧＞0)时，基态变号解的存在性、能量特征及b↘0时基态变号解的收敛性，而且证明了b＞∧时变号解的不存在性。