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噪声诱导的动力学跃迁一直是非线性随机动力学研究的热点问题,相关理论已经被应用到多个领域,指导相关产品的研制和性能检测。目前随机动力学研究主要集中在传统的高斯白噪声情形下,然而自然界和工程应用中广泛存在具有大跳跃的随机扰动,基于小扰动的高斯白噪声无法描述这种具有脉冲现象的随机噪声。此外,研究发现在蛋白质折叠和结构玻璃转换等实际问题中,系统的势函数并不是传统的光滑情形,而是凹凸不平或粗糙的。针对具有大跳跃的Lévy噪声和粗糙势函数问题,本文主要研究了Lévy噪声诱导的粗糙势函数中的随机动力学跃迁现象,对比了其与传统高斯白噪声的不同影响机制,分析了与光滑势函数的不同作用机理。并将Lévy噪声下的随机动力学理论应用到基因开关模型中,阐述了噪声对系统切换的影响规律。论文的主要内容如下:首先,针对三势阱模型,构建了 Lévy噪声激励下具有粗糙三势阱的随机动力学系统,为了阐述Lévy噪声和粗糙势函数耦合对系统跃迁的影响,计算了系统的稳态概率密度分布、分离概率和平均首次穿越时间等。发现在对称Lévy噪声下,粗糙势函数对系统的整体概率分布和分离概率影响较小,然而对于偏斜的Lévy噪声,粗糙势函数显著地影响了系统的概率分布和分离概率。此外,粗糙势函数能够明显减小系统由中间势阱向两侧穿越的平均时间,并且对于较大稳定性参数和较小噪声强度,粗糙势函数的影响更加明显(本部分对应论文第二章)。然后,针对具有周期势阱的Ratchet模型,研究了Lévy噪声激励下具有粗糙Ratchet势函数随机动力学系统中的输运问题。首先,考虑了无外力作用下的粗糙Ratchet系统,通过对系统平均速度、分离概率和平均首次穿越时间的计算和分析,发现粗糙势函数能够通过增加系统向速度反方向跃迁的概率,减小系统的平均速率。此外,粗糙Ratchet的非对称参数能够显著地影响粗糙势函数的作用,在一定条件下粗糙势函数能够促进系统的跃迁,减小系统的平均首次穿越时间(本部分对应论文第三章)。其次,在前一部分的研究基础上,针对粗糙势函数能够促进系统跃迁的现象,研究了受外力的Ratchet系统中粗糙势函数对动力学跃迁的增强作用。发现外力的增加能够明显地减小粗糙势函数和Lévy噪声稳定性参数的增强区域,且稳定性参数的增强区域主要集中在远离高斯白噪声情形的区域(α=2.0)。对于固定外力和稳定性参数,存在一个最优的粗糙强度使得系统的平均速度达到最大(本部分对应论文第四章)。最后,基于弱噪声极限理论,研究了 Ito积分和Marcus积分意义下,受乘性噪声激励的Lévy Ratchet中的随机动力学跃迁,分别得到了两种随机积分下系统的逃逸概率、平均首次穿越时间和分离概率,对比和分析了两组结果,发现了两种积分对动力学跃迁的不同影响机理(本部分对应论文第五章)。最后,将已有的Lévy噪声下动力学跃迁的研究成果应用到基因开关模型中,讨论了 Lévy噪声对基因转录相干切换和开关切换的影响规律。发现Lévy噪声在较小噪声强度下就可以诱导产生相干切换,而高斯白噪声则需要较大的噪声强度。此外,计算了不同Lévy噪声稳定性参数、噪声强度和偏斜参数下系统的稳态概率密度函数,发现Lévy噪声能够诱导产生开关切换。同时,还发现两种状态切换所需要的平均时间不同(本部分对应论文第六章)。