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近年来，随着四元数矩阵在量子力学、刚体力学、控制论、计算机图形学等方面应用范围的不断扩大，对四元数矩阵理论和计算的研究也日益活跃.国内外学者先后对四元数矩阵方程、特征值、最小二乘等问题进行了细致的研究.然而，具有重要应用价值与理论意义的四元数矩阵扰动问题及四元数矩阵特征值反问题的研究却很少.本文在这些方面做了一些探索性的工作，主要包括利用友向量和复表示的方法，结合复数域上矩阵的相应理论研究了四元数自共轭矩阵特征值的变分特征，并利用变分特征讨论了四元数矩阵奇异值的若干性质；研究了四元数矩阵广义逆、特征值、投影的扰动问题；利用矩阵分解研究了四元数正则矩阵束广义特征值反问题；利用四元数的一种实表示—分量矩阵定义了四元数矩阵的行列式.
本文主要结果如下：定理设A∈SCn(Q)，其特征值为λ1≤λ2≤…≤λn-1≤λn，则λk=v1,v2…minvn-k∈Qnx∈Qnx(_|)v1,v2,…vn-k,x≠0maxxH/Ax/xHxλk=maxv1,v2…vk-1∈Qnminx∈Qnx(_|)v1,v2,…,vk-1xHAx/xHx
定理设A，B∈Qn×n，A∈SCn(Q)，A+B为正规矩阵，设λ1≤λ2≤…≤λn是A的特征值，{τ1，τ2，…，τn}是A+B的特征主值且按顺序Reτ1≤Reτ2≤…≤Reτn排列.则[n∑i=1|τi-λi|2]2/1≤‖B‖2/√2.
定理设A∈Qn×n的奇异值为δ1≤δ2≤…≤δn，则δj(A)=min{‖A-B‖2|rankB≤n-j，B∈Qn×n}定理设A，B∈Qn×n，A，B，A+B的奇异值分别为0≤δ1(A)≤δ2(A)≤…≤δn(A)，0≤δ1(B)≤δ2(B)≤…≤δn(B)则[n∑k=1(δk(A+B)-δk(A))2]1/2≤‖B‖F/√2.
定理设A∈Qrm×nA=U∑VH，其中∑=diag(δ1，δ2，…，δr，0，…，0)，δ1≥δ2≥…≥δr，U，V分别为m，n阶酉阵.令Ak=Uk∑kVHk，(1≤k＜r)，其中∑k=diag(δ1，δ2，…，δk)，Uk，Vk分别是U，V的前k列.则‖A-Ak‖F=minB∈Qkm×n‖A-B‖F=(2r∑i=k+1)δ2i)1/2
定理设A∈Qm×n，～A是划去A的任意一列后所得的矩阵.{δi}，{～δi}分别为A和(～A)的按递减顺序排列的奇异值.
1)若m≥n，则δ1≥～δ1≥δ2≥～δ2≥…≥～δn-1≥δn≥0，
2)若m＜n，则δ1≥～δ1≥δ2≥～δ2≥…≥δm≥～δm≥0.
定理设A,B∈Qm×n，q=min{m，n}.A，B，A+B的奇异值分别为δ1(A)≥δ2(A)≥…≥δq(A)≥0，δ1(B)≥δ2(B)≥…≥δq(B)≥0δ1(A+B)≥δ2(A+B)≥…≥δq(A+B)≥0则δi+j-1(A+B)≤δi(A)+δi(B)(1≤i，j≤q且i+j≤q+1).
定理设A∈Qrm×n，～A=A+δA∈Qm×n若‖δA‖2‖A+‖2＜1，则rank(～A)≥rank(A)，且当rank(～A)＞rank(A)时，‖～A+‖2≥1/‖δA‖2，当rank(～A)=rank(A)时，‖A+‖2/1+‖δA‖2‖A+‖2≤‖～A+‖2≤‖A+‖2/1-‖δA2‖‖A+‖2.定理设A∈Qm×n，~A=A+δA∈Qm×n，则‖～A+-A+‖F≤√2max{‖～A+‖22,‖A+‖22}‖δA‖F
定理设A∈Qm×n，～A=A+δA∈Qm×n，则‖P～A-PA‖F≤√‖～A+‖22+‖A+‖22‖δA‖F‖P～A-PA‖2≤max{‖～A+‖2,‖A+‖2}‖δA‖2.
定理设A，～A=A+δA∈SC>n(Q)，λ1≥λ2≥…≥λn＞0，～λ1≥～λ2≥…≥～λn＞0分别为A与～A的特征值，则|λi-～λi|/√λi～λi≤‖A-1/2δA～A-1/2‖2
定理给定X∈Qm×n，设X的奇异值分解为(1.1)式，∧=diag(λ1，…，λn)∈Rn×n，V1H∧V1的谱分解为(1.3)式，则问题Ⅰ中(A，B)为正则矩阵束的通解为A=U((∑-1W)^B11D(∑-1W)H-B21∑WDWH∑-1(-B21∑WDWH∑-1-A22)UHB=U((∑-1W)^B11(∑-1W)H-B21)-B21H-B22)UH
其中-B21为任意(m-r)×r阶四元数矩阵，-A22，-B22为任意m-r阶四元数自共轭矩阵，^B11=diag(^b1，…，^br)为任意四元数矩阵，且^bi，i=1，2，…，r中相同的相邻排列，诸^bi相同的情形与VH1∧V1的谱分解中D的诸μi相同情形一致.
定理给定X∈Qm×n，设X的奇异值分解为(1.1)式，∧=diag(λ1，…，λn)∈Rn×n，V1H∧V1的谱分解为(1.3)式，则问题Ⅱ的通解为
A=U(∑WDWH∑-100-A22)UH其中-A2为任意m-r阶四元数自共轭矩阵.
定理给定X∈Qnm×n，设X的QR分解为(1.4)式，∧=diag(λ1，…，λn)∈Rn×n，则问题Ⅲ的通解为A=Q(R-H^R-1-B21R^R-1(-B21R^R-1-A22)H)QHB=Q(R-HR-1-B21-B21H-B22)QH
其中-B21为任意m-n阶四元数矩阵，-A22，-B22为任意m-n阶四元数自共轭矩阵.定义设A∈Qn×n，矩阵A的行列式detA定义为detA≡det(m(A)).
定理若A∈Qn×n，则存在B∈Qn×n使得m(B)=(m(A))*
定义设A∈Qn×n，则四元数矩阵A的伴随矩阵定义为A*≡m-1((m(A))*)，即有m(A*)=(m(A))*.