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无网格方法(Meshless or Meshfree Methods)是近十年来国际计算力学界的研究热点。在众多的无网格方法中，单位分解法(Partition of Unity Method，简记为PUM)在局部近似解空间构造和单位分解函数构造等方面具有很好的灵活性。本论文以固体力学中裂纹等高梯度问题以及梁的几何大变形问题为研究对象，研究了PUM这些灵活性对求解精度和收敛性的影响，得出了一些有价值的结论。
论文首先对PUM的局部近似解空间的构造进行了研究。一般的数值方法(如传统的有限元、边界元以及大多数无网格法等)都是基于多项式进行局部解空间近似。当碰到奇异性较强的问题时，多项式的局部逼近特性效果很差；PUM在局部区域引入问题的渐进特性函数后具有很好的逼近特性，可以得到更精确的数值结果。论文以具有局部高梯度的泊松问题和平面裂纹问题为分析计算对象，将问题的先验知识(如裂尖位移场的渐进特性函数)作为增强函数引入近似解空间中，以更好地在高梯度区域逼近真实解。PUM的数值计算结果表明，增强函数的引入确实大大提高了计算精度，并改善了收敛特性从而节省了计算时间。
论文主要工作是进行梁的几何大变形问题的单位分解方法的计算研究。重点研究了两种不同形式的单位分解函数，一种是Shepard单位分解函数，另一种是传统位移有限元形函数，并针对构造Shepard单位分解函数采用了不同形式的权函数(高斯权函数和立方样条权函数)对计算精度的影响进行了数值计算研究。数值计算研究表明，PUM的求解结果对模型节点分布(或网格畸变)不敏感以及P型收敛速度快等特点；同时构造Shepard函数的高斯权函数对计算结果的影响较大，对权函数参数比较敏感；而立方样条权函数具有较好的数值稳定性。