【摘 要】
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本文我们研究下面的非线性抛物方ut-△u=λf(χ)/(1-u)p x∈Ω0≤u
【出 处】
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中国科学院研究生院 中国科学院大学
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本文我们研究下面的非线性抛物方ut-△u=λf(χ)/(1-u)p x∈Ω0≤u<1χ∈Ωu=0χ∈(δ)Ω, u(x,0)=0χ∈Ω,这里p＞1,Ω是RN中的有界区域.这个问题是用来描述简单的微机电系统(MEMS)装置的数学模型.这个装置由一块固定的在位置1的基础板和最初在位置0的介电弹性薄膜组成.当对介电弹性薄膜加电压(这里用λ表示),薄膜就向基础板方程变形,当施加的电压超过某个临界值λ*(吸合电压)时就可能出现跳跃的情况.
首先,我们研究其静态方程,并对依赖于薄膜材料性质(这里用f表示非真空介电常数)的λ进行估计.通过构造辅助函数和应用上下解方法,再利用Hardys不等式和Pohozzevs等式,我们给出λ*的上下界估计,它依赖于空间的维数和介电常数.在λ＜λ*时我们找到了稳定状态的极小分支,并给出了稳定状态的一些相关性质,譬如正则性,稳定性,唯一性和多解性.我们还证明了当λ=λ*时,如果1≤N≤6方程有经典的极值解,而如果N≥7可能不存在经典的极值解.
其次,我们还考虑了动态方程的情况,证明了当λ≤λ*时薄膜全局收敛于它的唯一的极小稳定状态,而若λ＞λ*时薄膜会在有限时间T触地,而且触地点不可能位于介电常数为0的点.这里面我们用了极大值原理和爆破理论.另一方面,我们构造能量方程,对首次触地时间给出上下界估计,证明它依赖于f,λ和Ω.
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