【摘 要】
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在实际的理论研究中,通常使用数学模型(诸如椭圆型偏微分方程)来描述物理以及工程技术等方面的问题,譬如扩散问题、量子力学的问题、电磁学的问题、导体中的电流分布问题、几何学、流体动力学的问题和静电学问题等。然而此类方程的边值问题往往只有在一些特定情况下才可以获得其精确解,所以研究这些问题的数值方法显得尤为重要。有限差分法是一种适用范围相对广而且效果较好的椭圆型方程数值求解方法。到现在为止己经有很多差分
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在实际的理论研究中,通常使用数学模型(诸如椭圆型偏微分方程)来描述物理以及工程技术等方面的问题,譬如扩散问题、量子力学的问题、电磁学的问题、导体中的电流分布问题、几何学、流体动力学的问题和静电学问题等。然而此类方程的边值问题往往只有在一些特定情况下才可以获得其精确解,所以研究这些问题的数值方法显得尤为重要。有限差分法是一种适用范围相对广而且效果较好的椭圆型方程数值求解方法。到现在为止己经有很多差分方法可以用于近似逼近椭圆型方程,例如直接差分法、有限体积法等方法可以用来处理一维变系数椭圆型方程问题,不过这些方法的收敛精度较低,只能达到二阶,要想提高差分方法的精度,需要对网格进行加密,但是这会大幅度增加计算负担。很多差分方法也可用于求解二维方程边值问题,但精度也普遍较低。因而要想很好地解决变系数椭圆型方程的边值问题,建立一个高精度、收敛性较好的差分格式具有十分重要的理论和现实意义。以下是本文的主要内容:(1)利用径向基函数的拉格朗日形式推导出径向基函数展开公式,给出插值函数在节点处的任意阶有限差分,分析了基于三个等距节点时的一阶和二阶差分的截断误差,并得出了RBF-FD公式中包含的形状参数ε的最佳表达式。(2)利用所建立的RBF-FD公式对一维和二维变系数椭圆型方程关于第一类边界条件问题的数值求解方法进行研究。分别建立一维变系数椭圆型方程非齐次两点边值问题的三点差分格式和二维变系数方程的九点差分格式,总体上格式均具有四阶精度,巧妙地利用原始问题的方程计算得到形状参数的最优值,并通过数值实验结果证明了带有最佳参数值的差分格式是非常有效可行的。
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