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本文共有三章.
第一章，我们建立了范畴的Gr(o)bner-Shirshov基理论.作为应用，我们找到了两个重要范畴siplicial范畴和cyclic范畴的Gr(o)bner-Shirshov基并得到了siplicial范畴和cyclic范畴的规范型(siplicial范畴和cyclic范畴的规范型是同调理论中已有的著名结果).
第二章，我们给出了自由pre-李代数的一个非结合Gr(o)bner-Shirshov基.作为一个推论，我们再次证明了所有好字组成的集合是自由pre-Lie代数的一个线性基底(D.Segal的结果，参考[77]).另外，我们建立了自由pre-李代数的钻石合成引理(Composition-Diamond lemma).作为这个定理的重要应用，我们给出了一个李代数的范包络pre-Lie代数的Gr(o)bner-Shirshov基并得到了李代数的范包络pre-Lie代数的PBW定理(D.Segal[77])的一个简单证明.
Hall基和Lyndon-Shirshov基是自由李代数的两个最早的也是最重要的线性基底.在第三章中，我们给出了Hall基和Lyndon-Shirshov基的新的定义方式.通过A.I.Shirshov的反交换代数的钻石合成引理，我们给出了Hall基和Lyndon-Shirshov基是自由李代数的线性基的另一证明方法.